Continuidad: lo que entra tiene que salir
Un líquido apenas se comprime, así que en un tubo sin fugas tiene que pasar el mismo volumen por cada sección cada segundo. El caudal es la sección por la velocidad media, de modo que
Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, con A = π D² ÷ 4
Donde el tubo se estrecha, el fluido se acelera en la proporción de las áreas, que es el cuadrado de la proporción de los diámetros. Si reduces el diámetro a la mitad, la velocidad se multiplica por cuatro. Por eso el agua llega más lejos cuando tapas con el pulgar la boca de una manguera.
La ecuación de Bernoulli
Acelerar el fluido cuesta energía, y en un flujo estacionario sin rozamiento esa energía sale de la presión. Daniel Bernoulli demostró en 1738 que, a lo largo de una línea de corriente,
P + ½ ρ v² + ρ g z = constante
- P es la presión, el trabajo que hace el fluido de atrás al empujar al de delante.
- ½ρv² es la energía cinética por unidad de volumen, a veces llamada presión dinámica.
- ρgz es la energía potencial por unidad de volumen a la altura z.
Así que donde el fluido va más rápido, o más alto, su presión es menor. Es la conservación de la energía escrita por metro cúbico de fluido.
Un ejemplo resuelto
Agua (ρ = 998 kg/m³) circula a 10 L/s por un tubo de 10 cm que se estrecha a 5 cm y luego sube 1 m. La presión en la entrada es 150 kPa por encima de la atmosférica.
- Áreas: A₁ = π × 0,1² ÷ 4 = 0,00785 m², A₂ = 0,00196 m².
- Velocidades: v₁ = 0,010 ÷ 0,00785 = 1,27 m/s, v₂ = 0,010 ÷ 0,00196 = 5,09 m/s.
- Presión en el estrechamiento: ½ × 998 × (5,09² − 1,27²) = 12,1 kPa menos, es decir, 137,9 kPa.
- Después de la subida, de nuevo en el tubo de 10 cm: la velocidad vuelve a ser 1,27 m/s, así que el único cambio respecto a la entrada es ρgh = 998 × 9,81 × 1 = 9,8 kPa, y quedan 140,2 kPa.
La presión se recupera tras el estrechamiento: sin rozamiento no se pierde nada, solo se convirtió en velocidad y luego volvió.
El medidor Venturi
Dale la vuelta al ejemplo: mide la caída de presión entre el tubo y el estrechamiento, y la continuidad y Bernoulli juntas dan el caudal,
Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))
Con ΔP = 12,1 kPa se obtienen 10 L/s. Los medidores Venturi miden el caudal en redes de agua y tuberías industriales sin piezas móviles; los reales multiplican por un coeficiente de descarga de alrededor de 0,98 para tener en cuenta el rozamiento. El mismo principio hace funcionar carburadores, pistolas de pintura y las mascarillas Venturi que mezclan oxígeno con aire en los hospitales.
La viscosidad y el número de Reynolds
Los fluidos reales son viscosos: se adhieren a la pared, así que allí la velocidad es cero y en el centro es máxima. Cómo se comporta el flujo depende del número de Reynolds,
Re = ρ v D ÷ μ
donde μ es la viscosidad. Por debajo de unos 2.300, el flujo en un tubo es laminar: capas suaves que se deslizan unas sobre otras, con un perfil de velocidad parabólico cuyo centro va al doble de la media. Por encima de unos 4.000 es turbulento: remolinos caóticos mezclan el fluido y aplanan el perfil. Entre ambos valores alterna de uno a otro. El agua a 1,27 m/s en un tubo de 10 cm tiene Re = 127.000, claramente turbulento; la miel (μ de unos 10 Pa·s) a 0,3 m/s en un tubo de 2 cm tiene un Re de alrededor de 1.
Pérdidas por rozamiento
La viscosidad convierte parte de la energía del flujo en calor, así que P + ½ρv² + ρgz disminuye a lo largo del tubo. La ecuación de Darcy-Weisbach da la pérdida en una longitud L:
ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²
- Laminar: f = 64 ÷ Re, que es la ley de Hagen-Poiseuille, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). La pérdida crece con la cuarta potencia de la estrechez: reducir el radio a la mitad exige dieciséis veces más presión.
- Turbulento, tubo liso: f ≈ 0,316 Re−1/4 (Blasius). Para el tubo de agua de 10 cm, f = 0,017 y la pérdida es de unos 0,14 kPa por metro; en el estrechamiento de 5 cm, unos 3,6 kPa por metro.
La miel a 0,1 L/s por un tubo de 2 cm pierde unos 255 kPa por metro, y por eso los líquidos espesos necesitan tubos anchos y bombas potentes.
Cómo usar la simulación
En el Simulador de flujo de fluidos y principio de Bernoulli, ajusta el caudal, los diámetros, la altura y la presión de entrada, y lee las columnas sobre las secciones A, B y C. Cosas que probar:
- Reduce el diámetro del estrechamiento de 10 cm a 5 cm: la velocidad en él se cuadruplica y la caída se hace dieciséis veces mayor.
- Pon una altura negativa: la salida queda más baja y su presión es mayor que la de la entrada.
- Estrecha el paso a 2 cm con 10 L/s: la presión allí tendría que bajar de la presión de vapor del agua, y la simulación avisa de cavitación.
- Marca Incluir el rozamiento y cambia a miel: el perfil se vuelve una parábola, Re es de alrededor de 1 y la línea discontinua de la energía total cae en picado.
Qué supone el modelo
- Flujo estacionario e incompresible. El caudal no cambia con el tiempo y la densidad es constante, incluso para el aire.
- Una velocidad por sección. La ecuación de Bernoulli se aplica a la velocidad media; el perfil de velocidad solo cambia cómo se mueven los puntos.
- Rozamiento con fórmulas de tubo recto, integradas a lo largo del tubo: 64 ÷ Re para el flujo laminar, Blasius para el turbulento en tubo liso y una recta entre ambos de Re 2.300 a 4.000.
- Sin pérdidas localizadas. El estrechamiento y el ensanchamiento en sí no pierden nada extra.
- Propiedades fijas a unos 20 °C: agua 998 kg/m³ y 1,0 mPa·s, aceite de oliva 911 kg/m³ y 81 mPa·s, glicerina 1.260 kg/m³ y 1,41 Pa·s, miel 1.420 kg/m³ y unos 10 Pa·s, aire 1,2 kg/m³ y 18 µPa·s.
- Columnas que exageran. Las alturas muestran las diferencias entre los puntos de medida estiradas para que quepan, así que no están a escala entre sí; las etiquetas dan las presiones reales.
Casos límite
- Estrechamiento tan ancho como el tubo: no hay aceleración ni caída, y la fórmula del Venturi no tiene nada que medir.
- Estrechamiento más ancho que el tubo: el fluido se frena y la presión sube, el principio de un difusor.
- Presión muy baja: si la presión absoluta bajara de la presión de vapor (2,3 kPa para el agua a 20 °C), el líquido herviría formando burbujas que colapsan con violencia aguas abajo. Esta cavitación erosiona hélices de barcos y rodetes de bombas.
- Una presión absoluta negativa es imposible para un líquido en un tubo; el caudal que pides no puede darse con esa presión de entrada.
Dónde deja de valer el modelo
- Los ensanchamientos bruscos pierden mucha energía en remolinos: la pérdida de Borda-Carnot, ½ρ(v₁ − v₂)², es de unos 7,3 kPa si el estrechamiento del ejemplo se abre de golpe al tubo. Los conos suaves, como el dibujado, recuperan la mayor parte, y por eso los medidores Venturi tienen salidas largas y cónicas.
- Flujo compresible. Por encima de un tercio de la velocidad del sonido (unos 100 m/s en el aire), los gases se comprimen de forma apreciable y la ecuación de Bernoulli en esta forma subestima los cambios de presión; cerca de Mach 1 el flujo se bloquea.
- Tubos rugosos y números de Reynolds muy altos. Blasius solo vale hasta Re de unos 100.000 en tubos lisos; los tubos reales necesitan la ecuación de Colebrook o un diagrama de Moody con la rugosidad de la pared.
- Flujo no estacionario. Cerrar una válvula de golpe envía una onda de presión tubo arriba (golpe de ariete) mucho mayor que cualquier valor estacionario.
- Los fluidos no newtonianos, como la sangre, el kétchup y la pintura, cambian de viscosidad según lo rápido que se cizallan, y la viscosidad de la miel depende mucho de su temperatura y su contenido de agua.
- La sustentación de las alas. La ecuación de Bernoulli describe la menor presión sobre un ala, pero por sí sola no explica por qué el aire va más rápido allí; la explicación del «mismo tiempo de recorrido» es falsa.
Calculadoras
Calcula caudales, velocidades y caídas de presión en tuberías reales con la Calculadora de flujo en tuberías, comprueba si un flujo es laminar con la Calculadora del número de Reynolds y convierte entre litros, galones y metros cúbicos con el Convertidor de volumen. Cómo calcular el caudal y la pérdida de carga en una tubería explica las cuentas a mano.