Model kompartemen
Pada tahun 1927 William Kermack dan Anderson McKendrick menggambarkan epidemi dengan membagi semua orang ke dalam beberapa kelompok dan mengikuti perpindahan orang di antara kelompok itu. Dalam model SIR setiap orang rentan (S), menular (I), atau sembuh (R) dan kebal. Model SEIR menambahkan kelompok terpapar (E) untuk orang yang sudah tertular tetapi belum bisa menularkan. Untuk kota berpenduduk N orang:
dS/dt = −βSI ÷ N, dE/dt = βSI ÷ N − σE, dI/dt = σE − γI, dR/dt = γI
- β adalah jumlah kontak menular yang dilakukan satu orang menular per hari. Kontak dengan orang yang rentan, sebanyak bagian S ÷ N dari kota, menularkan infeksi.
- σ adalah 1 ÷ masa inkubasi (masa laten). Pada SIR tidak ada E, dan kasus baru langsung menular.
- γ adalah 1 ÷ masa menular.
R₀ dan angka reproduksi efektif
Angka reproduksi dasar R₀ adalah jumlah orang yang ditulari satu kasus, rata-rata, ketika semua orang lain rentan. Dalam model ini R₀ = β ÷ γ: kontak per hari dikali jumlah hari menular. Di atas 1 wabah bisa tumbuh; di bawah 1 setiap rantai penularan terputus.
Saat orang sembuh dan menjadi kebal, setiap kasus menemukan lebih sedikit orang untuk ditulari. Angka reproduksi efektif adalah R_t = R₀ × S ÷ N. Epidemi mencapai puncaknya tepat saat R_t turun ke 1, ketika bagian 1 ÷ R₀ dari kota masih rentan, lalu menyusut setelahnya. Langkah yang mengurangi kontak menurunkan R_t lebih jauh.
Kekebalan kelompok
Bila bagian p dari populasi sudah kebal sebelum wabah dimulai, R_t mulai dari R₀ × (1 − p). Wabah tidak bisa tumbuh bila nilai itu di bawah 1, jadi ambang kekebalan kelompok adalah
p = 1 − 1 ÷ R₀
Setengah populasi untuk R₀ = 2, dua pertiga untuk R₀ = 3, dan sekitar 92% sampai 95% untuk campak, yang R₀-nya sekitar 12 sampai 18. Orang yang kebal melindungi orang lain dengan memutus rantai penularan.
Ukuran akhir
Wabah tidak berhenti di ambang kekebalan kelompok: pada puncaknya masih banyak orang yang menular dan terus menulari orang lain, jadi wabah melampaui ambang itu. Bagian s yang tidak pernah terinfeksi memenuhi persamaan ukuran akhir
ln(1 ÷ s) = R₀ × (1 − s)
untuk kota yang seluruhnya rentan. Persamaan ini tidak punya solusi aljabar, tetapi bisa diselesaikan langkah demi langkah. Hasilnya sama untuk SIR dan SEIR: masa inkubasi mengubah kapan kasus datang, bukan berapa banyak.
Contoh perhitungan
Simulasi dimulai dengan R₀ = 3, masa inkubasi 3 hari, dan masa menular 7 hari, di kota berpenduduk 1.000 orang dengan 5 orang yang menular.
- γ = 1 ÷ 7 = 0,143 per hari, jadi β = R₀ × γ = 0,429 kontak menular per hari.
- Ambang kekebalan kelompok: 1 − 1 ÷ 3 = 0,667, atau 667 orang.
- Ukuran akhir: coba s = 0,06: ln(1 ÷ 0,06) = 2,81 dan 3 × 0,94 = 2,82, cukup dekat. Sekitar 94% kota tertular, jauh lebih banyak dari ambang 67%.
- Pertumbuhan awal pada SIR: kasus naik dengan laju β − γ = 0,286 per hari, berlipat dua setiap ln 2 ÷ 0,286 = 2,4 hari. Masa inkubasi memperlambatnya.
- Dalam persamaan, wabah SIR memuncak sekitar hari ke-21; dengan masa inkubasi 3 hari, sekitar hari ke-36.
Vaksinasi separuh kota lebih dulu, dan R_t mulai dari 1,5: sekitar 30% kota terinfeksi. Vaksinasi 70%, di atas ambang, dan wabah memudar setelah beberapa puluh kasus.
Melandaikan kurva
Menjaga jarak menurunkan β, dan karantina mencegah sebagian kasus menulari siapa pun. Keduanya menurunkan R₀ efektif. Dengan kontak berkurang separuh, R₀ = 3 menjadi 1,5: puncaknya jauh lebih rendah dan lebih lambat, dan ukuran akhir turun dari 94% menjadi sekitar 59%, karena wabah tidak terlalu jauh melampaui ambang yang kini lebih rendah. Menjaga puncak tetap rendah penting bagi rumah sakit, yang hanya bisa merawat sejumlah orang pada saat yang sama.
Memakai simulasi
Di Simulator Penyebaran Wabah: SIR dan SEIR, coba hal-hal berikut:
- Jalankan pengaturan bawaan dan bandingkan kota, dengan garis penuh, dengan persamaan, dengan garis putus-putus. Catat hari saat R_t turun di bawah 1 dan bandingkan dengan puncaknya.
- Atur masa inkubasi ke 0 untuk SIR: wabah datang lebih awal dan lebih cepat, tetapi ukuran akhirnya sama.
- Vaksinasi 60%, lalu 70%: ambang untuk R₀ = 3 ada di antaranya.
- Karantina 50% kasus dan bandingkan dengan menjaga jarak 50%: keduanya membagi dua R₀.
- Atur R₀ ke 1,2 dan kota ke 200 orang dengan satu kasus: sebagian simulasi langsung padam, sebagian menyebar.
Asumsi model
- Pencampuran homogen: setiap orang yang menular sama mungkinnya bertemu siapa pun di kota; tidak ada rumah tangga, sekolah, atau jaringan.
- Semua orang sama: kerentanan yang sama, kontak yang sama, masa menular yang sama.
- Waktu tunggu eksponensial: setiap orang yang terpapar atau menular punya peluang yang sama untuk berpindah tahap setiap hari, jadi ada yang sembuh dalam sehari dan ada yang berminggu-minggu, dengan rata-rata yang benar.
- Kekebalan permanen: orang yang sembuh dan divaksinasi tidak pernah tertular lagi, dan vaksinnya sempurna.
- Kota tertutup: tidak ada kelahiran, kematian, perjalanan, atau kematian akibat penyakit, selama satu wabah.
- Karantina menangkap bagian tetap dari kasus pada saat mereka mulai menular dan menahan mereka sampai sembuh; menjaga jarak mengurangi setiap kontak dengan bagian yang sama.
Kasus batas
- R₀ di bawah 1: setiap rantai penularan terputus, rata-rata setelah 1 ÷ (1 − R₀) kasus: sepuluh untuk R₀ = 0,9, dua untuk R₀ = 0,5.
- R₀ sedikit di atas 1: di kota kecil banyak wabah padam karena kebetulan sebelum berkembang, walaupun persamaan meramalkan epidemi. Dengan satu kasus dan R₀ = 1,2, kebanyakan simulasi padam lebih awal.
- Vaksinasi di atas ambang: R_t mulai di bawah 1, jadi wabah tidak bisa tumbuh, walaupun sebagian orang yang tidak divaksinasi masih bisa tertular.
- R₀ sangat tinggi: untuk R₀ = 12, hampir semua orang yang tidak kebal tertular.
- Masa inkubasi 0: SEIR menjadi SIR.
- Semua dikarantina: tidak ada yang bisa menulari siapa pun, dan wabah berakhir bersama kasus-kasus pertama.
Di mana model tidak lagi berlaku
- Penyebar super. Pada banyak penyakit, sedikit kasus menyebabkan sebagian besar penularan dan kebanyakan kasus tidak menulari siapa pun. Wabah jadi lebih sering padam karena kebetulan, tetapi yang bertahan bisa meledak.
- Struktur. Orang bertemu anggota rumah tangga dan rekan kerja berulang kali. Kontak yang berkelompok memperlambat penyebaran dan menurunkan ukuran akhir dibanding pencampuran acak, dan kelompok umur bercampur dengan cara yang sangat berbeda.
- Perilaku berubah. Orang mengurangi kontak saat kasus naik dan melonggarkannya saat kasus turun, jadi R_t tidak mengikuti jalur sederhana model.
- Kekebalan memudar pada flu, pilek, dan COVID-19, dan virus berevolusi untuk menghindarinya; wabah lalu kembali dalam gelombang, yang membutuhkan model SIRS.
- Waktu tunggu tidak eksponensial. Masa inkubasi dan masa menular yang sebenarnya mengumpul di sekitar rata-ratanya. Hal ini mengubah waktu dan tinggi puncak, tetapi tidak mengubah ukuran akhir.
- Penularan tanpa gejala dan sebelum gejala. Karantina hanya bekerja pada kasus yang ditemukan; penularan sebelum gejala membuatnya jauh kurang efektif daripada yang disiratkan model ini.
- R₀ bukan sifat tetap suatu kuman. Nilainya bergantung pada cara orang hidup dan bertemu, jadi perkiraannya berbeda antartempat dan antarpenelitian.
Alat terkait
Kenaikan awal epidemi bersifat eksponensial, seperti pertumbuhan di Simulator Pertumbuhan Bakteri; Kalkulator Waktu Penggandaan Sel mencari waktu penggandaannya, seperti di Cara menghitung waktu penggandaan sel. Kalkulator persentase mengubah jumlah kasus menjadi bagian dari populasi. Simulator Populasi Pemangsa dan Mangsa memakai gagasan aksi massa yang sama untuk rubah yang menangkap kelinci.