खंड मॉडल
1927 में विलियम कर्मैक और एंडरसन मैककेंड्रिक ने सभी लोगों को कुछ समूहों में बाँटकर और लोगों के एक समूह से दूसरे में जाने को देखकर एक महामारी का वर्णन किया। SIR मॉडल में हर व्यक्ति संवेदनशील (S), संक्रामक (I) या ठीक हुआ (R) और प्रतिरक्षित होता है। SEIR मॉडल उन लोगों के लिए संपर्क में आए (E) लोगों का समूह जोड़ता है जो संक्रमित हो चुके हैं पर अभी संक्रमण आगे नहीं फैला सकते। N लोगों के शहर के लिए:
dS/dt = −βSI ÷ N, dE/dt = βSI ÷ N − σE, dI/dt = σE − γI, dR/dt = γI
- β वह संख्या है जितने संक्रामक संपर्क एक संक्रामक व्यक्ति रोज़ करता है। किसी संवेदनशील व्यक्ति से संपर्क, जो शहर का S ÷ N हिस्सा हैं, संक्रमण आगे देता है।
- σ है 1 ÷ ऊष्मायन (अव्यक्त) अवधि। SIR में E नहीं होता, और नए मामले तुरंत संक्रामक होते हैं।
- γ है 1 ÷ संक्रामक अवधि।
R₀ और प्रभावी प्रजनन संख्या
मूल प्रजनन संख्या R₀ वह संख्या है जितने लोगों को एक मामला औसतन संक्रमित करता है जब बाकी सब संवेदनशील हों। इन मॉडलों में R₀ = β ÷ γ: प्रति दिन संपर्क गुणा संक्रामक दिन। 1 से ऊपर प्रकोप बढ़ सकता है; 1 से नीचे संक्रमण की हर कड़ी खत्म हो जाती है।
जैसे-जैसे लोग ठीक होकर प्रतिरक्षित होते हैं, हर मामले को संक्रमित करने के लिए कम लोग मिलते हैं। प्रभावी प्रजनन संख्या R_t = R₀ × S ÷ N है। महामारी ठीक उस समय शिखर पर पहुँचती है जब R_t गिरकर 1 होता है, जब शहर का 1 ÷ R₀ हिस्सा अभी भी संवेदनशील होता है, और उसके बाद घटती है। संपर्क घटाने वाले उपाय R_t को और नीचे लाते हैं।
हर्ड इम्युनिटी
अगर प्रकोप शुरू होने से पहले आबादी का p हिस्सा प्रतिरक्षित है, तो R_t, R₀ × (1 − p) से शुरू होता है। यह 1 से कम हो तो प्रकोप बढ़ नहीं सकता, इसलिए हर्ड इम्युनिटी सीमा है
p = 1 − 1 ÷ R₀
R₀ = 2 के लिए आधी आबादी, R₀ = 3 के लिए दो-तिहाई, और खसरे के लिए लगभग 92% से 95%, जिसका R₀ लगभग 12 से 18 है। प्रतिरक्षित लोग संक्रमण की कड़ियाँ तोड़कर दूसरों की रक्षा करते हैं।
अंतिम आकार
प्रकोप हर्ड इम्युनिटी सीमा पर नहीं रुकता: शिखर पर अभी भी बहुत से लोग संक्रामक होते हैं और दूसरों को संक्रमित करते रहते हैं, इसलिए वह सीमा से आगे निकल जाता है। जो हिस्सा s कभी संक्रमित नहीं होता, वह अंतिम आकार समीकरण को संतुष्ट करता है
ln(1 ÷ s) = R₀ × (1 − s)
पूरी तरह संवेदनशील शहर के लिए। इसका कोई बीजगणितीय हल नहीं है, पर इसे कदम-दर-कदम हल किया जा सकता है। परिणाम SIR और SEIR के लिए एक जैसा है: ऊष्मायन अवधि बदलती है कि मामले कब आते हैं, यह नहीं कि कितने आते हैं।
एक हल किया उदाहरण
सिम्युलेशन R₀ = 3, 3 दिन की ऊष्मायन अवधि और 7 दिन की संक्रामक अवधि से, 1,000 लोगों के शहर में 5 संक्रामक लोगों के साथ शुरू होता है।
- γ = 1 ÷ 7 = 0.143 प्रति दिन, इसलिए β = R₀ × γ = 0.429 संक्रामक संपर्क प्रति दिन।
- हर्ड इम्युनिटी सीमा: 1 − 1 ÷ 3 = 0.667, यानी 667 लोग।
- अंतिम आकार: s = 0.06 आज़माएँ: ln(1 ÷ 0.06) = 2.81 और 3 × 0.94 = 2.82, काफ़ी करीब। शहर के लगभग 94% लोग संक्रमित होते हैं, 67% की सीमा से कहीं ज़्यादा।
- SIR में शुरुआती बढ़त: मामले β − γ = 0.286 प्रति दिन की दर से बढ़ते हैं, हर ln 2 ÷ 0.286 = 2.4 दिन में दोगुने। ऊष्मायन अवधि इसे धीमा करती है।
- समीकरणों में SIR प्रकोप लगभग दिन 21 पर शिखर पर पहुँचता है; 3 दिन की ऊष्मायन अवधि के साथ लगभग दिन 36 पर।
पहले आधे शहर को टीका लगाएँ तो R_t 1.5 से शुरू होता है: शहर के लगभग 30% लोग संक्रमित होते हैं। सीमा से ऊपर, 70% को टीका लगाएँ, तो प्रकोप कुछ दर्जन मामलों के बाद थम जाता है।
कर्व को चपटा करना
दूरी β को घटाती है, और क्वारंटीन कुछ मामलों को किसी को भी संक्रमित करने से रोकता है। दोनों प्रभावी R₀ घटाते हैं। संपर्क आधे होने पर R₀ = 3 घटकर 1.5 हो जाता है: शिखर बहुत नीचा और देर से आता है, और अंतिम आकार 94% से घटकर लगभग 59% रह जाता है, क्योंकि प्रकोप अब नीची सीमा से कम आगे निकलता है। शिखर को नीचा रखना अस्पतालों के लिए मायने रखता है, जो एक समय में कुछ ही लोगों का इलाज कर सकते हैं।
सिम्युलेशन का उपयोग
महामारी प्रसार सिम्युलेटर: SIR और SEIR में ये आज़माएँ:
- डिफ़ॉल्ट मान चलाएँ और ठोस रेखाओं वाले शहर की तुलना डैश वाली समीकरण रेखाओं से करें। वह दिन नोट करें जब R_t 1 से नीचे आता है और उसकी तुलना शिखर से करें।
- SIR के लिए ऊष्मायन अवधि 0 करें: प्रकोप पहले और तेज़ी से आता है, पर अंतिम आकार वही रहता है।
- 60%, फिर 70% को टीका लगाएँ: R₀ = 3 की सीमा इनके बीच है।
- 50% मामलों को क्वारंटीन में भेजें और 50% दूरी से तुलना करें: दोनों R₀ को आधा करते हैं।
- R₀ को 1.2 और शहर को एक मामले वाले 200 लोगों पर सेट करें: कुछ रन तुरंत खत्म होते हैं, कुछ फैल जाते हैं।
मॉडल क्या मानकर चलता है
- समरूप मिश्रण: हर संक्रामक व्यक्ति के शहर में किसी से भी मिलने की संभावना बराबर है; कोई घर, स्कूल या नेटवर्क नहीं।
- सब एक जैसे हैं: एक जैसी संवेदनशीलता, एक जैसे संपर्क, एक जैसी संक्रामक अवधि।
- घातांकी प्रतीक्षा समय: हर संपर्क में आए या संक्रामक व्यक्ति के रोज़ आगे बढ़ने की संभावना बराबर है, इसलिए कुछ एक दिन में ठीक होते हैं और कुछ हफ़्तों में, सही औसत के साथ।
- स्थायी प्रतिरक्षा: ठीक हुए और टीका लगे लोग दोबारा संक्रमित नहीं होते, और टीका पूरी तरह कारगर है।
- एक बंद शहर: एक ही प्रकोप के दौरान कोई जन्म, मृत्यु, यात्रा या बीमारी से मृत्यु नहीं।
- क्वारंटीन मामलों के एक तय हिस्से को उसी क्षण पकड़ता है जब वे संक्रामक होते हैं और ठीक होने तक रखता है; दूरी हर संपर्क को एक ही अनुपात में घटाती है।
सीमांत स्थितियाँ
- R₀ 1 से कम: संक्रमण की हर कड़ी खत्म होती है, औसतन 1 ÷ (1 − R₀) मामलों के बाद: R₀ = 0.9 के लिए दस, R₀ = 0.5 के लिए दो।
- R₀ 1 से थोड़ा ऊपर: छोटे शहर में बहुत से प्रकोप शुरू होने से पहले ही संयोग से खत्म हो जाते हैं, भले समीकरण महामारी बताएँ। एक मामले और R₀ = 1.2 के साथ ज़्यादातर रन जल्दी खत्म होते हैं।
- सीमा से ऊपर टीकाकरण: R_t 1 से नीचे शुरू होता है, इसलिए प्रकोप बढ़ नहीं सकता, हालाँकि कुछ बिना टीके वाले लोग अब भी संक्रमित हो सकते हैं।
- बहुत ऊँचा R₀: R₀ = 12 पर लगभग हर अप्रतिरक्षित व्यक्ति संक्रमित होता है।
- ऊष्मायन अवधि 0: SEIR, SIR बन जाता है।
- सब क्वारंटीन में: कोई किसी को संक्रमित नहीं कर सकता, और प्रकोप पहले मामलों के साथ खत्म हो जाता है।
मॉडल कहाँ सही नहीं रहता
- सुपरस्प्रेडिंग। कई बीमारियों में कुछ ही मामले ज़्यादातर संक्रमण फैलाते हैं और ज़्यादातर मामले किसी को संक्रमित नहीं करते। तब प्रकोप संयोग से ज़्यादा बार खत्म होते हैं, पर जो बचते हैं वे विस्फोटक हो सकते हैं।
- संरचना। लोग अपने घर के सदस्यों और सहकर्मियों से बार-बार मिलते हैं। समूहबद्ध संपर्क फैलाव को धीमा करते हैं और यादृच्छिक मिश्रण की तुलना में अंतिम आकार घटाते हैं, और आयु-समूह बहुत अलग-अलग ढंग से मिलते हैं।
- व्यवहार बदलता है। मामले बढ़ने पर लोग संपर्क घटाते हैं और घटने पर ढील देते हैं, इसलिए R_t मॉडल के सरल रास्ते पर नहीं चलता।
- प्रतिरक्षा घटती है फ़्लू, ज़ुकाम और COVID-19 में, और वायरस उससे बचने के लिए विकसित होते हैं; तब प्रकोप लहरों में लौटते हैं, जिसके लिए SIRS मॉडल चाहिए।
- प्रतीक्षा समय घातांकी नहीं होते। असली ऊष्मायन और संक्रामक अवधियाँ अपने औसत के आसपास जमा होती हैं। इससे शिखर का समय और ऊँचाई बदलती है, पर अंतिम आकार नहीं।
- बिना लक्षण और लक्षणों से पहले फैलाव। क्वारंटीन केवल पकड़े गए मामलों पर काम करता है; लक्षणों से पहले फैलाव इसे इस मॉडल के अनुमान से कहीं कम कारगर बना देता है।
- R₀ किसी रोगाणु का स्थिर गुण नहीं है। यह इस पर निर्भर करता है कि लोग कैसे रहते और मिलते हैं, इसलिए अनुमान जगहों और अध्ययनों के बीच अलग होते हैं।
संबंधित टूल
महामारी की शुरुआती बढ़त घातांकी होती है, जैसी जीवाणु वृद्धि सिमुलेटर में वृद्धि; कोशिका दोहरीकरण समय कैलकुलेटर उसका दोहरीकरण समय निकालता है, जैसा कोशिका दोहरीकरण समय कैसे निकालें में है। प्रतिशत कैलकुलेटर मामलों की गिनती को आबादी के हिस्सों में बदलता है। शिकारी और शिकार आबादी सिम्युलेटर यही द्रव्यमान-क्रिया विचार खरगोश पकड़ती लोमड़ियों पर लगाता है।