Modelos compartimentais
Em 1927 William Kermack e Anderson McKendrick descreveram uma epidemia dividindo todo mundo em poucos grupos e acompanhando como as pessoas passam de um para outro. No modelo SIR cada pessoa é suscetível (S), infecciosa (I) ou recuperada (R) e imune. O modelo SEIR acrescenta um grupo de expostos (E) para quem já pegou a infecção mas ainda não consegue transmiti-la. Para uma cidade de N pessoas:
dS/dt = −βSI ÷ N, dE/dt = βSI ÷ N − σE, dI/dt = σE − γI, dR/dt = γI
- β é o número de contatos infecciosos que uma pessoa infecciosa tem por dia. Um contato com uma pessoa suscetível, uma fração S ÷ N da cidade, transmite a infecção.
- σ é 1 ÷ o período de incubação (latência). No SIR não há E, e os novos casos são contagiosos na hora.
- γ é 1 ÷ o período infeccioso.
R₀ e o número efetivo de reprodução
O número básico de reprodução R₀ é quantas pessoas um caso infecta, em média, quando todas as outras são suscetíveis. Nestes modelos R₀ = β ÷ γ: contatos por dia vezes dias de contágio. Acima de 1 o surto pode crescer; abaixo de 1 toda cadeia de infecção acaba.
À medida que as pessoas se recuperam e ficam imunes, cada caso encontra menos gente para infectar. O número efetivo de reprodução é R_t = R₀ × S ÷ N. A epidemia atinge o pico no momento em que R_t cai para 1, quando uma fração 1 ÷ R₀ da cidade ainda é suscetível, e diminui depois disso. Medidas que cortam contatos baixam R_t ainda mais.
Imunidade de rebanho
Se uma fração p da população já está imune antes de um surto começar, R_t começa em R₀ × (1 − p). O surto não consegue crescer se isso for menor que 1, então o limiar de imunidade de rebanho é
p = 1 − 1 ÷ R₀
Metade da população para R₀ = 2, dois terços para R₀ = 3 e cerca de 92 % a 95 % para o sarampo, cujo R₀ é de cerca de 12 a 18. As pessoas imunes protegem as outras ao quebrar as cadeias de infecção.
O tamanho final
Um surto não para no limiar de imunidade de rebanho: no pico ainda há muitas pessoas infecciosas que continuam infectando outras, então ele passa do limiar. A fração s que nunca é infectada satisfaz a equação do tamanho final
ln(1 ÷ s) = R₀ × (1 − s)
para uma cidade totalmente suscetível. Ela não tem solução algébrica, mas pode ser resolvida passo a passo. O resultado é o mesmo para SIR e SEIR: o período de incubação muda quando os casos chegam, não quantos são.
Um exemplo resolvido
A simulação começa com R₀ = 3, período de incubação de 3 dias e período infeccioso de 7 dias, numa cidade de 1.000 pessoas com 5 contagiosas.
- γ = 1 ÷ 7 = 0,143 por dia, então β = R₀ × γ = 0,429 contato infeccioso por dia.
- Limiar de imunidade de rebanho: 1 − 1 ÷ 3 = 0,667, ou 667 pessoas.
- Tamanho final: teste s = 0,06: ln(1 ÷ 0,06) = 2,81 e 3 × 0,94 = 2,82, perto o bastante. Cerca de 94 % da cidade pega a infecção, muito mais que o limiar de 67 %.
- Crescimento inicial no SIR: os casos sobem a β − γ = 0,286 por dia, dobrando a cada ln 2 ÷ 0,286 = 2,4 dias. O período de incubação desacelera isso.
- Nas equações, o surto SIR atinge o pico por volta do dia 21; com os 3 dias de incubação, por volta do dia 36.
Vacine metade da cidade antes e R_t começa em 1,5: cerca de 30 % da cidade é infectada. Vacine 70 %, acima do limiar, e o surto se apaga depois de algumas dezenas de casos.
Achatar a curva
O distanciamento reduz β, e a quarentena impede que uma parte dos casos infecte alguém. Os dois baixam o R₀ efetivo. Com os contatos pela metade, R₀ = 3 vira 1,5: o pico fica muito mais baixo e mais tarde, e o tamanho final cai de 94 % para cerca de 59 %, porque o surto passa menos do limiar, que agora é mais baixo. Manter o pico baixo importa para os hospitais, que só conseguem tratar certo número de pessoas ao mesmo tempo.
Como usar a simulação
No Simulador de propagação de epidemias: SIR e SEIR, experimente:
- Rode os valores padrão e compare a cidade, em linhas contínuas, com as equações, tracejadas. Note o dia em que R_t cai abaixo de 1 e compare com o pico.
- Coloque o período de incubação em 0 para o SIR: o surto chega antes e mais rápido, mas o tamanho final é o mesmo.
- Vacine 60 %, depois 70 %: o limiar para R₀ = 3 fica entre os dois.
- Coloque 50 % dos casos em quarentena e compare com 50 % de distanciamento: os dois reduzem R₀ à metade.
- Coloque R₀ em 1,2 e a cidade com 200 pessoas e um caso: algumas simulações acabam logo, outras se espalham.
O que o modelo supõe
- Mistura homogênea: cada pessoa infecciosa tem a mesma chance de encontrar qualquer um na cidade; não há casas, escolas nem redes.
- Todos são iguais: mesma suscetibilidade, mesmos contatos, mesmo período infeccioso.
- Tempos de espera exponenciais: cada pessoa exposta ou infecciosa tem a mesma chance de avançar a cada dia, então algumas se recuperam em um dia e outras levam semanas, com a média certa.
- Imunidade duradoura: recuperados e vacinados nunca pegam de novo, e a vacina é perfeita.
- Uma cidade fechada: sem nascimentos, mortes, viagens ou mortes pela doença, durante um único surto.
- A quarentena pega uma fração fixa dos casos no momento em que ficam contagiosos e os mantém até se recuperarem; o distanciamento corta cada contato na mesma proporção.
Casos-limite
- R₀ abaixo de 1: cada cadeia de infecção acaba, em média depois de 1 ÷ (1 − R₀) casos: dez para R₀ = 0,9, dois para R₀ = 0,5.
- R₀ pouco acima de 1: numa cidade pequena, muitos surtos acabam por acaso antes de decolar, mesmo que as equações prevejam uma epidemia. Com um caso e R₀ = 1,2, a maioria das simulações acaba cedo.
- Vacinação acima do limiar: R_t começa abaixo de 1, então o surto não cresce, embora algumas pessoas não vacinadas ainda possam ser infectadas.
- R₀ muito alto: com R₀ = 12, quase todo mundo que não é imune é infectado.
- Período de incubação 0: o SEIR vira SIR.
- Todos em quarentena: ninguém consegue infectar ninguém, e o surto termina com os primeiros casos.
Onde o modelo deixa de valer
- Supertransmissão. Em muitas doenças poucos casos causam a maioria das infecções, e a maioria não infecta ninguém. Os surtos então acabam por acaso com mais frequência, mas os que sobrevivem podem explodir.
- Estrutura. As pessoas encontram repetidamente quem mora com elas e os colegas de trabalho. Contatos agrupados desaceleram a propagação e reduzem o tamanho final em comparação com a mistura aleatória, e as faixas etárias se misturam de jeitos muito diferentes.
- O comportamento muda. As pessoas cortam contatos quando os casos sobem e relaxam quando caem, então R_t não segue o caminho simples do modelo.
- A imunidade diminui na gripe, no resfriado comum e na COVID-19, e os vírus evoluem para escapar dela; os surtos então voltam em ondas, o que exige um modelo SIRS.
- Os tempos de espera não são exponenciais. Os períodos reais de incubação e de contágio se concentram em torno da média. Isso muda o momento e a altura do pico, mas não o tamanho final.
- Transmissão assintomática e pré-sintomática. A quarentena só funciona nos casos encontrados; a transmissão antes dos sintomas a torna bem menos eficaz do que este modelo sugere.
- R₀ não é uma propriedade fixa de um micróbio. Ele depende de como as pessoas vivem e se encontram, então as estimativas variam entre lugares e estudos.
Ferramentas relacionadas
A subida inicial de uma epidemia é exponencial, como o crescimento no Simulador de crescimento bacteriano; a Calculadora de tempo de duplicação celular encontra o tempo de duplicação dela, como em Como calcular o tempo de duplicação celular. A Calculadora de porcentagem transforma contagens de casos em frações de uma população. O Simulador de populações de predadores e presas usa a mesma ideia de ação das massas para raposas pegando coelhos.