重要なポイント
確率は、不確かな事象に 0 から 1 の数を与える。事象の結合、並べ方の数え上げ、正規分布の値の標準化についての少数の規則が、大半の問題をカバーする。
- A または B の確率は P(A) + P(B) − P(A かつ B) である。独立な事象では P(A かつ B) = P(A) × P(B) である。
- 条件付き確率は P(A | B) = P(A かつ B) ÷ P(B) である。
- 順序のある選び方は順列 nPr で、順序のない選び方は組合せ nCr で数える。n 回の試行で k 回成功する二項確率は C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ である。
- z 値 z = (x − μ) ÷ σ は、値が平均から標準偏差の何倍離れているかを表す。期待値は Σ x·P(x) である。
主な式
z = (x − μ) ÷ σP(k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)nPr = n! ÷ (n − r)!, nCr = n! ÷ (r!(n − r)!)
例題
平均 100、標準偏差 15 のとき、IQ 115 の z = (115 − 100) ÷ 15 = 1 である。公平なコインを 5 回投げてちょうど 2 回表が出る確率は C(5, 2) × 0.5⁵ = 10 ÷ 32 = 0.3125 である。走者 8 人から表彰台の 3 人を選んで順位をつける数は 8P3 = 336、3 人のチームを選ぶ数は 8C3 = 56 である。
よくある間違い
- 重なりを引かずに P(A) と P(B) を足し、1 を超える確率を出すこと。
- 順序が重要なのに組合せを使うこと、または重要でないのに順列を使うこと。
- 従属な事象を独立として掛け合わせること。
練習
このトピックの練習問題で力試しをしましょう:確率と分布