重要なポイント
天文学の問題は少数のスケール則に頼る。ケプラーの第 3 法則は軌道の大きさと周期を結び、視差は距離を、ウィーンの法則は色から温度を、赤方偏移は後退速度を与える。
- 太陽を回る天体のケプラーの第 3 法則は T² = a³ で、T は年、a は天文単位である。
- 秒角で表した視差 p から、距離はパーセクで d = 1 ÷ p となる。1 パーセクは 3.26 光年である。
- ウィーンの法則はピーク波長 λmax = 2.898 × 10⁻³ m·K ÷ T を与える。光度は L ∝ R²T⁴ に比例する。
- 赤方偏移が小さいとき後退速度は v = cz である。ハッブルの法則 v = H₀d から距離が得られ、光がそれを進むのに t = d ÷ c かかる。
主な式
T² = a³ (T in years, a in AU)d (pc) = 1 ÷ p (arcseconds)λmax = 2.898 × 10⁻³ m·K ÷ TL ∝ R² T⁴v = cz, v = H₀dv = √(GM ÷ r)
例題
a = 4 AU の惑星の T = √(4³) = 8 年である。p = 0.25″ の恒星は d = 1 ÷ 0.25 = 4 pc = 4 × 3.26 = 13.0 光年にある。z = 0.01 の銀河は v = 3.00 × 10⁵ × 0.01 = 3000 km/s で遠ざかり、H₀ = 70 km/s/Mpc なら d = 3000 ÷ 70 = 42.9 Mpc である。半径が太陽の 2 倍で温度も 2 倍の恒星は 2² × 2⁴ = 64 倍明るい。
よくある間違い
- ケプラーの法則で km や日を AU や年に換算せずに使うこと。
- 視差で割らずに掛けてしまい、遠い星を近いと誤ること。
- 光度が温度の 1 乗ではなく 4 乗に依存することを忘れること。
練習
このトピックの練習問題で力試しをしましょう:軌道と星の光