Орбиты и свет звёзд: учебное руководство

Главные идеи

Задачи по астрономии опираются на небольшой набор законов подобия. Третий закон Кеплера связывает размер и период орбиты, параллакс даёт расстояние, закон Вина даёт температуру по цвету, а красное смещение — скорость удаления.

• Третий закон Кеплера для тел, обращающихся вокруг Солнца, имеет вид T² = a³, где T в годах, а a в астрономических единицах.
• Параллакс p в угловых секундах даёт расстояние в парсеках, d = 1 ÷ p. Один парсек равен 3,26 светового года.
• Закон Вина даёт длину волны максимума λmax = 2,898 × 10⁻³ м·К ÷ T. Светимость масштабируется как L ∝ R²T⁴.
• При малых красных смещениях скорость удаления v = cz. Закон Хаббла v = H₀d тогда даёт расстояние, а свету требуется t = d ÷ c, чтобы его пройти.

Основные формулы

• T² = a³ (T in years, a in AU)
• d (pc) = 1 ÷ p (arcseconds)
• λmax = 2.898 × 10⁻³ m·K ÷ T
• L ∝ R² T⁴
• v = cz, v = H₀d
• v = √(GM ÷ r)

Разобранный пример

Планета при a = 4 а.е. имеет T = √(4³) = 8 лет. Звезда с p = 0,25″ находится на d = 1 ÷ 0,25 = 4 пк = 4 × 3,26 = 13,0 светового года. Галактика с z = 0,01 удаляется со скоростью v = 3,00 × 10⁵ × 0,01 = 3000 км/с, что при H₀ = 70 км/с/Мпк даёт d = 3000 ÷ 70 = 42,9 Мпк. Звезда с вдвое большим радиусом и вдвое большей температурой, чем у Солнца, в 2² × 2⁴ = 64 раза ярче.

Частые ошибки

• Подстановка километров или суток в закон Кеплера без перевода в а.е. и годы.
• Умножение на параллакс вместо деления, из-за чего далёкая звезда оказывается ближе.
• Забвение того, что светимость зависит от четвёртой степени температуры, а не от первой.

Практика

Проверьте себя на тренировочных вопросах по этой теме: Орбиты и свет звёзд