Последовательные и параллельные цепи

Закон Ома

Напряжение на резисторе пропорционально току через него: V = I R. На резисторе 100 Ом при токе 0,05 А — 5 В. Напряжение — это энергия, которую каждый кулон заряда отдаёт, проходя через элемент; ток — сколько кулонов проходит за секунду; их произведение — мощность, превращаемая в тепло или свет, P = V I = I² R.

Последовательное соединение

Элементы, соединённые последовательно, стоят в одну линию, поэтому через каждый течёт один и тот же ток. Их напряжения в сумме дают напряжение источника, а сопротивления просто складываются:

R = R₁ + R₂ + R₃ + …

Наибольший резистор берёт наибольшую долю напряжения. Разорвите цепь в любом месте, как перегоревшая лампочка в старой гирлянде, и ток прекратится везде.

Параллельное соединение

Элементы, соединённые параллельно, подключены к одним и тем же двум точкам, поэтому на каждом полное напряжение, а токи складываются:

1 ÷ R = 1 ÷ R₁ + 1 ÷ R₂ + 1 ÷ R₃ + …

Общее сопротивление всегда меньше наименьшей ветви, потому что каждая ветвь — ещё один путь для тока. Для двух резисторов R = R₁R₂ ÷ (R₁ + R₂). Домашняя проводка параллельная: на каждой розетке сетевое напряжение, и если выключить одну лампу, остальные продолжают гореть.

Законы Кирхгофа

• Закон токов: ток, втекающий в любой узел, равен вытекающему. Заряд сохраняется и не накапливается.
• Закон напряжений: в любом замкнутом контуре подъёмы напряжения (батареи) равны падениям (резисторы). Энергия на заряд сохраняется.

Вместе с законом Ома они решают любую сеть резисторов и источников, как бы она ни была запутана; программы моделирования цепей пишут по одному уравнению закона токов на узел и решают их все вместе, что и делает эта симуляция.

Разобранный пример

Батарея 9 В питает R₁ = 100 Ом последовательно с параллельно соединёнными R₂ = 220 Ом и R₃ = 330 Ом. Внутренним сопротивлением батареи пока пренебрежём.

1. Параллельная пара: 220 × 330 ÷ (220 + 330) = 132 Ом.
2. Вся цепь: 100 + 132 = 232 Ом.
3. Ток батареи: 9 ÷ 232 = 38,8 мА, весь через R₁, на котором падает 3,88 В.
4. Паре остаётся 9 − 3,88 = 5,12 В: 23,3 мА через R₂ и 15,5 мА через R₃, в сумме 38,8 мА, как требует закон токов.
5. Мощность: R₁ 0,151 Вт, R₂ 0,119 Вт, R₃ 0,079 Вт, всего 0,349 Вт = 9 В × 38,8 мА.

Настоящие батареи: внутреннее сопротивление

Батарея ведёт себя как идеальное напряжение E (её электродвижущая сила), последовательно соединённое с небольшим внутренним сопротивлением r. При токе I внутри неё падает I r, поэтому напряжение на клеммах V = E − I r. У свежей батарейки AA около 0,1–0,3 Ом; по мере разряда r растёт, поэтому слабая батарейка показывает на мультиметре почти полное напряжение (тока почти нет), но проседает под нагрузкой. При r = 0,5 Ом в примере ток немного падает до 38,7 мА, а напряжение на клеммах — до 8,98 В.

Делители и мосты

Два последовательных резистора делят напряжение: V_вых = V × R₂ ÷ (R₁ + R₂). Всё, что подключено к R₂, оказывается параллельно ему и тянет V_вых вниз, поэтому делитель даёт номинальное напряжение только на нагрузке гораздо больше R₂. Мост Уитстона — два делителя рядом с прибором между их средними точками; он показывает ноль, когда R₁ ÷ R₂ = R₃ ÷ R₄, что позволяет очень точно измерить неизвестное сопротивление по известным, как в тензодатчиках и старых лабораторных мостах.

Как пользоваться симуляцией

В Симулятор последовательных и параллельных цепей выберите цепь и задайте батарею, её внутреннее сопротивление и каждое сопротивление. Выводятся все токи, напряжения и мощности, лампочки светятся в соответствии со своей мощностью, а электроны дрейфуют со скоростью, пропорциональной току. Попробуйте:

• В последовательной цепи сделайте R₃ большим: на нём оказывается большая часть напряжения, и он светится ярче всех, а остальные тускнеют.
• В параллельной цепи разомкните выключатель: R₃ гаснет, а R₁ и R₂ не меняются (при r = 0); при большом внутреннем сопротивлении они слегка ярчают, потому что батарея меньше нагружена.
• В мосте задайте R₁ = 100, R₂ = 220, R₃ = 150 и подстройте R₄ до 330: прибор становится зелёным и показывает ноль.
• Следите за графиком: мощность в R₁ максимальна, когда R₁ равно сопротивлению, которое ему представляет остальная цепь, — теорема о максимальной передаче мощности.

Что предполагает модель

• Омические резисторы. Каждая лампочка — постоянное сопротивление. Сопротивление не меняется с током или температурой.
• Идеальные провода и выключатель. У проводов 0,001 Ом, у замкнутого выключателя столько же, у разомкнутого 10⁹ Ом; у прибора в мосте 50 Ом.
• Постоянный ток, установившийся режим. Всё устанавливается мгновенно; ёмкости и индуктивности нет, поэтому при переключении нет ни задержки, ни звона.
• Батарея, которая никогда не садится, с постоянными E и r.
• Скорости электронов масштабированы для показа. Настоящие скорости дрейфа — доли миллиметра в секунду.

Крайние случаи

• Разомкнутый выключатель в последовательной цепи: ток везде нулевой, а всё напряжение батареи оказывается на разомкнутом выключателе; поэтому разомкнутый выключатель в сетевой цепи всё ещё может ударить током.
• Нулевое внутреннее сопротивление при очень малой нагрузке: в идеальной модели ток растёт без предела. Настоящие батареи ограничены r, и короткое замыкание может опасно их нагреть.
• Одинаковые резисторы параллельно: n одинаковых резисторов R параллельно дают R ÷ n, и ток делится поровну.
• Сбалансированный мост: через прибор ток не течёт, поэтому мост ведёт себя как два независимых делителя, и собственное сопротивление прибора не важно.

Где модель перестаёт быть верной

• Настоящие лампочки не омические. Сопротивление вольфрамовой нити от холодного состояния до белого каления растёт примерно в десять раз, поэтому при включении она берёт большой бросок тока, и её яркость не пропорциональна V². Светодиоды и диоды ещё менее омические: ниже порогового напряжения тока почти нет.
• Переменный ток. Конденсаторы и катушки сдвигают ток и напряжение по фазе, и вместо сопротивления действует импеданс; их кривые заряда показывает Симулятор RC- и RL-цепей.
• Быстрые сигналы. На высокой частоте сами провода имеют индуктивность и ёмкость и ведут себя как линии передачи; сигналам нужно время, чтобы пройти, и законы Кирхгофа в этой простой форме перестают выполняться.
• Нагрев и пределы. У резисторов есть допустимая мощность, и они греются; у проводов есть сопротивление, важное на длинных линиях, как показывает падение напряжения в кабеле; E и r батарей меняются с зарядом и температурой.

Калькуляторы

V, I, R и P найдёт Калькулятор закона Ома, резисторы объединит Калькулятор последовательного и параллельного соединения, а делители поможет рассчитать Калькулятор делителя напряжения; руководства Как пользоваться законом Ома и Как работает делитель напряжения идут дальше.