Доска
Доска Гальтона — это доска со штырьками, расположенными в шахматном порядке над рядом ячеек. Шарик, брошенный сверху, в каждом ряду ударяется о штырёк, уходит влево или вправо и падает в ячейку, номер которой равен числу отскоков вправо. Фрэнсис Гальтон построил её в 1870-х годах, чтобы показать, как из случайности возникает порядок: путь каждого шарика непредсказуем, но тысячи шариков всегда складываются в одну и ту же колоколообразную кучку.
Биномиальная формула
При n рядах и вероятности p уйти вправо на каждом штырьке вероятность попасть в ячейку k (k отскоков вправо из n) равна
P(k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k
C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) — число путей, ведущих в ячейку k, а pk(1 − p)n − k — вероятность любого из них.
Разобранный пример: 12 рядов, p = 0,5. В среднюю ячейку, k = 6, ведут C(12, 6) = 924 пути, каждый с вероятностью 0,512 = 1 ÷ 4096, так что P(6) = 924 ÷ 4096 = 22,6%. В крайнюю ячейку ведёт один путь: 1 ÷ 4096 = 0,024%. Из 1000 шариков ожидайте около 226 в середине и ни одного, может быть, один, с каждого края.
Среднее и стандартное отклонение
μ = n p и σ = √(n p (1 − p))
Для 12 рядов при p = 0,5 μ = 6 и σ = √3 = 1,73. У нормального распределения 68% лежит в пределах одного σ от среднего и 95% — в пределах двух; на этой доске в ячейках с 5 по 7 оказывается 61% шариков, потому что ячейки целочисленные и одно σ не совсем дотягивается до ячеек 4 и 8. σ растёт лишь как √n, так что на доске с вчетверо большим числом рядов кучка вдвое шире, но относительно ширины доски — вдвое уже.
Нормальное приближение
При большом n биномиальное распределение близко к нормальной кривой с тем же средним и стандартным отклонением, f(x) = e−(x − μ)²/2σ² ÷ (σ√(2π)). Распространённое правило: оно работает, когда n p и n (1 − p) оба не меньше 5 (в некоторых книгах 10). При p = 0,1 и 12 рядах n p = 1,2: кучка прижата к левому краю и несимметрична (асимметрия (1 − 2p) ÷ σ = 0,77), и симметричный колокол описывает её плохо.
Центральная предельная теорема
Каждый отскок добавляет маленький случайный шаг, а ячейка — их сумма. Центральная предельная теорема говорит, что сумма многих независимых случайных величин стремится к нормальному распределению, каким бы ни было распределение каждой, лишь бы у него был конечный разброс. Хорошо это видно на кубиках. Один кубик даёт ровное распределение: каждая грань 1 из 6. Два кубика дают треугольник с пиком на 7. Сумма n кубиков имеет среднее 3,5 n и дисперсию 35 n ÷ 12, и уже при пяти-шести кубиках её трудно отличить от колокола. Поэтому рост, ошибки измерений и баллы за тесты, каждый из которых — сумма многих мелких влияний, так часто выглядят нормальными.
Проверка кучки: хи-квадрат
Согласуется ли кучка с биномиальным распределением или доска смещена? Сравните наблюдаемые числа O с ожидаемыми E = N × P(k) по формуле
χ2 = Σ (O − E)2 ÷ E
Объединяйте соседние ячейки, пока в каждой не будет ожидаться хотя бы 5 шариков, затем берите число ячеек − 1 степеней свободы. p-значение — вероятность получить такое большое χ2, если доска честная. Разобранный пример: 200 шариков на доске из 4 рядов при p = 0,5 ожидаются как 12,5, 50, 75, 50, 12,5. Наблюдается 15, 44, 80, 47, 14: χ2 = 0,50 + 0,72 + 0,33 + 0,18 + 0,18 = 1,91 при 4 степенях свободы, p = 0,75, что вполне согласуется со случайностью.
Как пользоваться симуляцией
Симулятор доски Гальтона бросает шарики непрерывно. Столбцы показывают долю в каждой ячейке, штриховая линия — точное распределение, а зелёная кривая — нормальное. Под картинкой — выборочное среднее и стандартное отклонение рядом с ожидаемыми и критерий хи-квадрат. Попробуйте:
- Следите за выборочным средним на графике: сначала оно блуждает, а затем приближается к μ, и его ошибка уменьшается как σ ÷ √N.
- Задайте p = 0,15 при 6 рядах: кучка несимметрична, и нормальная кривая промахивается. Поднимите число рядов до 20, и снова получится колокол.
- Переключитесь на кубики и увеличивайте n от 1 до 6: ровное распределение, треугольник, затем колокол.
- Оставьте симуляцию работать и следите за p-значением: для честной доски оно гуляет от 0 до 1 и опускается ниже 0,05 примерно раз из двадцати.
Что предполагает модель
- Независимые отскоки с одинаковым p. Каждый штырёк — новое подбрасывание монеты, не зависящее от предыдущего. Это и есть определение биномиального процесса.
- Ровно один отскок на ряд. Шарик всегда попадает на следующий штырёк и сдвигается на половину шага влево или вправо; он никогда не перескакивает ряд и не отскакивает дважды.
- Шарики не взаимодействуют. Они проходят друг сквозь друга и никогда не застревают и не толкают другие.
- Честные кубики, каждая грань ровно 1 из 6, в режиме кубиков.
- Генератор псевдослучайных чисел заменяет случайность. Он гораздо равномернее, чем нужно любой настоящей доске.
Крайние случаи
- Один ряд — это одно подбрасывание монеты: две ячейки с долями 1 − p и p, и колоколообразная кривая лишена смысла.
- p около 0 или 1: почти каждый шарик идёт одним и тем же краевым путём; распределение несимметрично и ближе к распределению Пуассона со средним n p.
- Мало шариков: при менее чем нескольких десятках кучка рваная, а для критерия хи-квадрат слишком мало шариков в ячейке; он ждёт хотя бы двух ячеек с ожидаемыми 5.
- Один кубик даёт ровное распределение без пика, противоположность колоколу, — это исходная точка, от которой отталкивается центральная предельная теорема.
Где модель перестаёт быть верной
- Настоящие доски Гальтона не идеальны. У шарика есть импульс: уйдя вправо, он чуть вероятнее снова уйдёт вправо, поэтому отскоки коррелированы, и кучка выходит шире биномиальной. Шарики также могут перескакивать штырьки или застревать.
- Не всё есть сумма. Величины, получающиеся перемножением многих факторов, например доходы или размеры частиц, распределены логнормально, асимметрично с длинным хвостом; центральная предельная теорема применима к их логарифмам.
- Тяжёлые хвосты. Если у отдельных шагов нет конечной дисперсии (например, распределение Коши), их сумма никогда не становится нормальной.
- Зависимость. Изменения цен акций, эпидемии и другие процессы, где одно событие меняет следующее, не подчиняются биномиальному распределению; если считать их независимыми подбрасываниями монеты, экстремальные значения недооцениваются.
- Нормальная кривая непрерывна и не ограничена, а ячейки — целые числа от 0 до n; далеко в хвостах она даёт малые, но невозможные вероятности ниже 0 или выше n.
Связанные инструменты
Среднее, стандартное отклонение и стандартную ошибку своих данных найдёт Калькулятор стандартного отклонения (и руководство Стандартное отклонение и стандартная ошибка), настоящие монеты подбросит Подбросить монетку, а кубики — Бросить кубики; Вероятности игральных кубиков: шансы каждого броска разбирает шансы вручную.