Закон Бернулли: неразрывность, расходомеры Вентури и трение в трубах

Неразрывность: сколько втекло, столько и вытечет

Жидкость почти не сжимается, поэтому в трубе без утечек через каждое сечение каждую секунду должен проходить один и тот же объём. Объёмный расход — это площадь сечения, умноженная на среднюю скорость, поэтому

Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, где A = π D² ÷ 4

Где труба сужается, жидкость ускоряется во столько раз, во сколько уменьшилась площадь, то есть в квадрат отношения диаметров. Уменьшите диаметр вдвое, и скорость вырастет в четыре раза. Поэтому если прижать пальцем конец садового шланга, вода бьёт дальше.

Уравнение Бернулли

Чтобы разогнать жидкость, нужна энергия, и в установившемся течении без трения она берётся из давления. Даниил Бернулли показал в 1738 году, что вдоль линии тока

P + ½ ρ v² + ρ g z = const

• P — давление, работа, которую жидкость сзади совершает, толкая жидкость впереди.
• ½ρv² — кинетическая энергия единицы объёма, иногда называемая динамическим давлением.
• ρgz — потенциальная энергия единицы объёма на высоте z.

Значит, там, где жидкость движется быстрее или находится выше, её давление ниже. Это закон сохранения энергии, записанный на кубометр жидкости.

Разобранный пример

Вода (ρ = 998 кг/м³) течёт со скоростью 10 л/с по трубе 10 см, которая сужается до горловины 5 см, а затем поднимается на 1 м. Давление на входе на 150 кПа выше атмосферного.

1. Площади: A₁ = π × 0,1² ÷ 4 = 0,00785 м², A₂ = 0,00196 м².
2. Скорости: v₁ = 0,010 ÷ 0,00785 = 1,27 м/с, v₂ = 0,010 ÷ 0,00196 = 5,09 м/с.
3. Давление в горловине: на ½ × 998 × (5,09² − 1,27²) = 12,1 кПа ниже, то есть 137,9 кПа.
4. После подъёма, снова в трубе 10 см: скорость опять 1,27 м/с, поэтому единственное изменение по сравнению со входом — ρgh = 998 × 9,81 × 1 = 9,8 кПа, остаётся 140,2 кПа.

После горловины давление восстанавливается: ничего не потеряно (без трения), оно лишь превратилось в скорость и обратно.

Расходомер Вентури

Обратим пример: измерим перепад давления между трубой и горловиной, и неразрывность вместе с уравнением Бернулли дадут расход,

Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))

При ΔP = 12,1 кПа это снова 10 л/с. Расходомеры Вентури измеряют расход в водопроводных магистралях и промышленных трубах без движущихся частей; в настоящих результат умножают на коэффициент расхода около 0,98 с учётом трения. На том же принципе работают карбюраторы, краскопульты и маски Вентури, которые в больницах смешивают кислород с воздухом.

Вязкость и число Рейнольдса

Реальные жидкости вязкие: они прилипают к стенке, поэтому скорость там нулевая, а наибольшая — в середине. Как ведёт себя течение, зависит от числа Рейнольдса,

Re = ρ v D ÷ μ

где μ — вязкость. Ниже примерно 2300 течение в трубе ламинарное: гладкие слои скользят друг относительно друга, а профиль скорости параболический, с центром, движущимся вдвое быстрее среднего. Выше примерно 4000 оно турбулентное: хаотичные вихри перемешивают жидкость и выравнивают профиль. Между ними течение переключается туда-сюда. У воды при 1,27 м/с в трубе 10 см Re = 127 000, уверенно турбулентное; у мёда (μ около 10 Па·с) при 0,3 м/с в трубе 2 см Re около 1.

Потери на трение

Вязкость превращает часть энергии потока в тепло, поэтому P + ½ρv² + ρgz вдоль трубы убывает. Уравнение Дарси — Вейсбаха даёт потерю на длине L:

ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²

• Ламинарное течение: f = 64 ÷ Re, что даёт закон Хагена — Пуазейля, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). Потеря растёт как четвёртая степень сужения: при вдвое меньшем радиусе нужно в шестнадцать раз больше давления.
• Турбулентное течение, гладкая труба: f ≈ 0,316 Re^−1/4 (Блазиус). Для водяной трубы 10 см f = 0,017, и потеря около 0,14 кПа на метр; в горловине 5 см — около 3,6 кПа на метр.

Мёд при 0,1 л/с в трубе 2 см теряет около 255 кПа на каждом метре, поэтому густым жидкостям нужны толстые трубы и мощные насосы.

Как пользоваться симуляцией

В Симулятор течения жидкости и закона Бернулли задайте расход, диаметры, высоту и давление на входе и читайте столбики над сечениями A, B и C. Попробуйте:

• Уменьшите диаметр горловины с 10 до 5 см: скорость в ней вырастет вчетверо, а перепад — в шестнадцать раз.
• Задайте отрицательную высоту: выход ниже, и давление на нём выше, чем на входе.
• Сузьте горловину до 2 см при 10 л/с: давление там должно было бы упасть ниже давления насыщенного пара воды, и симуляция предупреждает о кавитации.
• Отметьте «Учитывать трение (вязкость)» и переключитесь на мёд: профиль становится параболой, Re около 1, а штриховая линия полной энергии круто падает.

Что предполагает модель

• Установившееся несжимаемое течение. Расход не меняется со временем, а плотность постоянна, даже для воздуха.
• Одна скорость на сечение. Уравнение Бернулли применяется к средней скорости; профиль скорости меняет только движение точек.
• Трение по формулам для прямых труб, проинтегрированное вдоль трубы: 64 ÷ Re для ламинарного течения, Блазиус для турбулентного в гладкой трубе и прямая между ними от Re 2300 до 4000.
• Нет местных потерь. Сужение и расширение сами по себе ничего дополнительно не теряют.
• Постоянные свойства при 20 °C: вода 998 кг/м³ и 1,0 мПа·с, оливковое масло 911 кг/м³ и 81 мПа·с, глицерин 1260 кг/м³ и 1,41 Па·с, мёд 1420 кг/м³ и около 10 Па·с, воздух 1,2 кг/м³ и 18 мкПа·с.
• Столбики преувеличивают. Их высоты показывают разницу между манометрами, растянутую под размер, так что они не в масштабе друг с другом; подписи дают настоящие давления.

Крайние случаи

• Горловина шириной с трубу: нет ни ускорения, ни перепада, и формуле Вентури нечего измерять.
• Горловина шире трубы: жидкость замедляется, а давление растёт — принцип диффузора.
• Очень низкое давление: если абсолютное давление должно упасть ниже давления насыщенного пара (2,3 кПа для воды при 20 °C), жидкость вскипает пузырьками, которые ниже по течению бурно схлопываются. Эта кавитация разрушает гребные винты и рабочие колёса насосов.
• Отрицательное абсолютное давление для жидкости в трубе невозможно; запрошенное течение при таком давлении на входе не может существовать.

Где модель перестаёт быть верной

• Внезапные расширения теряют много энергии на вихри: потеря Борда — Карно, ½ρ(v₁ − v₂)², около 7,3 кПа для горловины из примера, резко открывающейся в трубу. Плавные конусы, как нарисованный, возвращают большую часть, поэтому у расходомеров Вентури длинные конические выходы.
• Сжимаемое течение. Выше примерно трети скорости звука (около 100 м/с в воздухе) газы заметно сжимаются, и уравнение Бернулли в этой форме недооценивает изменения давления; около 1 Маха течение запирается.
• Шероховатые трубы и очень большие числа Рейнольдса. Формула Блазиуса верна лишь примерно до Re 100 000 в гладких трубах; для реальных труб нужны уравнение Колбрука или диаграмма Муди с шероховатостью стенки.
• Неустановившееся течение. Быстрое закрытие крана посылает назад по трубе волну давления (гидроудар), гораздо большую любого установившегося значения.
• Неньютоновские жидкости вроде крови, кетчупа и краски меняют вязкость в зависимости от скорости сдвига, а вязкость мёда сильно зависит от его температуры и содержания воды.
• Подъёмная сила крыла. Уравнение Бернулли описывает пониженное давление над крылом, но само по себе не объясняет, почему воздух там движется быстрее; объяснение «равного времени прохождения» ложно.

Калькуляторы

Расходы, скорости и перепады давления в реальных трубах считает Калькулятор течения в трубе, ламинарность течения проверяет Калькулятор числа Рейнольдса, а литры, галлоны и кубометры переводит Конвертер объёма. Как рассчитать расход и потерю давления в трубе разбирает расчёты вручную.