Закон Снеллиуса, преломление и полное внутреннее отражение

Почему свет преломляется

В стекле или воде свет движется медленнее, чем в воздухе. Показатель преломления n говорит, насколько: в материале с показателем n свет движется со скоростью c ÷ n, так что в воде (n = 1,333) он проходит около 225 000 км в секунду вместо 300 000. Когда пучок пересекает границу под углом, один его край первым попадает в более медленную среду и первым замедляется, и пучок поворачивает, как колонна марширующих, которая разворачивается, когда один её край ступает в грязь. Этот поворот и есть преломление.

Закон Снеллиуса

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

• θ₁ — угол падения, θ₂ — угол преломления, оба отсчитываются от нормали, линии, перпендикулярной поверхности, а не от самой поверхности.
• При переходе в более плотную среду (n₂ > n₁) луч отклоняется к нормали; при выходе из неё — от нормали.
• Луч, падающий на поверхность прямо (θ₁ = 0), проходит не отклоняясь, только медленнее.

Разобранный пример

Лазер в воздухе падает на брусок из кронового стекла (n = 1,517) под углом 40° к нормали.

1. sin θ₂ = (1,000 ÷ 1,517) × sin 40° = 0,659 × 0,643 = 0,424.
2. θ₂ = arcsin 0,424 = 25,1°.

Внутрь проходит не весь свет. Долю отражённого дают формулы Френеля; при 40° из воздуха в это стекло она около 4,8%, а при прямом падении ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4,2%. Поэтому оконное стекло с двумя поверхностями отражает около 8% и ночью показывает слабое отражение.

Предельный угол и полное внутреннее отражение

При переходе из более плотной среды в менее плотную преломлённый луч отклоняется от нормали, и при достаточно большом угле ему пришлось бы выйти под углом больше 90°. Это невозможно, поэтому свет совсем не выходит и отражается целиком. Угол, с которого это начинается, — предельный угол:

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (только когда n₁ > n₂)

• Из воды в воздух: θ_c = arcsin(1 ÷ 1,333) = 48,6°. Посмотрите из-под воды на поверхность: за этим углом она становится зеркалом.
• Из кронового стекла в воздух: 41,2°. Поэтому 45-градусная призма отражает свет полностью, лучше посеребрённого зеркала; так бинокли и перископы складывают ход лучей.
• Из алмаза в воздух: 24,4°. Большая часть света, вошедшего в хорошо огранённый алмаз, оказывается в ловушке и многократно отражается внутри, прежде чем выйти через верх, — отсюда и блеск.

Даже до предельного угла доля отражённого резко растёт: из стекла в воздух она 4% при прямом падении, около 10% при 35° и 100% при 41,2°.

Угол Брюстера

При tg θ_B = n₂ ÷ n₁ (56,6° из воздуха в кроновое стекло, 53,1° на воду) свет, поляризованный в плоскости падения, совсем не отражается, поэтому отражённый свет полностью поляризован параллельно поверхности. Поляризационные солнцезащитные очки блокируют это направление, поэтому они убирают блики от воды и дорог.

Призмы и дисперсия

Показатель преломления немного зависит от длины волны. Для кронового стекла он около 1,531 для фиолетового света 400 нм и 1,513 для красного 700 нм, поэтому фиолетовый отклоняется сильнее на каждой грани призмы, и белый свет раскладывается в спектр. Формула Коши, n(λ) = A + B ÷ λ², хорошо описывает это в видимом диапазоне, и её использует симуляция. Отклонение пучка призмой минимально, когда он проходит симметрично, и этот минимум даёт показатель: n = sin((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sin(A ÷ 2), где A — преломляющий угол. Для 60-градусной призмы из кронового стекла δ_min около 38,6°.

Оптоволокно

Волокно удерживает свет полным внутренним отражением: стеклянная сердцевина окружена оболочкой с чуть меньшим показателем. Свет, вошедший в торец в пределах угла приёма, каждый раз падает на боковую стенку под углом больше предельного и проходит километры. Числовая апертура NA = √(n_серд² − n_обол²) = sin θ_max (в воздухе). Сердцевина 1,47 в оболочке 1,455 даёт NA = 0,21 и угол приёма около 12°.

Как пользоваться симуляцией

В Симулятор преломления и полного внутреннего отражения выберите два материала и задайте угол. Рисуются пучок, его слабое отражение и нормаль, а точки, бегущие вдоль пучка, в каждом материале замедляются в n раз. График показывает долю отражённого света в зависимости от угла для обеих поляризаций с отметками текущего угла, угла Брюстера и предельного угла, если он есть. Попробуйте:

• Из воды в воздух, затем проведите по углам: преломлённый луч ложится вдоль поверхности и исчезает при 48,6°.
• Призму с белым светом: прочитайте минимальное отклонение, затем замените крон на флинт и посмотрите, как расширяется спектр.
• Волокно при 30°, а затем при 80° с водой вокруг стекла: за углом приёма свет вытекает через боковую стенку.

Что предполагает модель

• Лучи. Свет рассматривается как тонкие лучи, идущие по прямым. Это геометрическая оптика, точная, когда всё, что встречает свет, намного больше его длины волны (около половины микрометра).
• Плоские, чистые, резкие границы между двумя однородными прозрачными материалами, без поглощения и рассеяния внутри. Весь неотражённый свет проходит дальше.
• Неполяризованный свет для доли отражённого — среднее двух поляризаций; график показывает каждую отдельно.
• Показатели по формуле Коши, подогнанной к типичным значениям каждого материала при 20 °C. Реальные стёкла различаются по типу и партии в третьем знаке после запятой.
• Отслеживается только основной пучок через призму или волокно плюс первое отражение. На самом деле каждая поверхность возвращает ещё несколько процентов, создавая слабые паразитные пучки, которые симуляция не рисует.
• Волокно — это сердцевина из материала, выбранного первым, а второй заменяет оболочку, поэтому с воздухом вокруг угол приёма равен 90°. Выберите воду вокруг стекла, чтобы увидеть реалистичный ограниченный угол приёма.

Крайние случаи

• θ₁ = 0: пучок проходит прямо без отклонения, а доля отражённого минимальна для этой пары материалов.
• Равные показатели: на границе ничего не происходит: ни преломления, ни отражения. Стеклянная палочка исчезает в масле с тем же показателем — этим приёмом проверяют показатель стекла.
• Ровно при предельном угле преломлённый луч идёт вдоль поверхности и не несёт энергии; чуть дальше — отражение полное.
• Около 90° (скользящее падение) почти весь свет отражается от любой поверхности, даже из воздуха в стекло; поэтому дорога или озеро выглядят зеркалом, если смотреть вдоль них.
• Призма с большим преломляющим углом или высоким показателем: пучок падает на вторую грань под углом больше предельного и отражается обратно в призму, а не выходит, и минимального отклонения нет.

Где модель перестаёт быть верной

• Маленькие объекты. Щели, решётки, капли и волокна шириной всего в несколько длин волн дифрагируют свет, чего лучи описать не могут; волновую картину показывает Симулятор опыта с двумя щелями. Настоящие одномодовые телекоммуникационные волокна имеют сердцевину около 9 мкм, и их нужно рассматривать как волноводы.
• Нарушенное полное внутреннее отражение. Даже при полном внутреннем отражении слабая затухающая волна проникает примерно на длину волны за поверхность. Поднесите так близко другой кусок стекла, и свет туннелирует через зазор, чего лучевая оптика допустить не может.
• Поглощающие и металлические материалы имеют комплексный показатель преломления, и простые формулы Френеля, используемые здесь, к ним не применимы. Покрытия толщиной в долю длины волны, например просветляющие, работают за счёт интерференции, которую симуляция не учитывает.
• Длины волн вне видимого диапазона. Формула Коши не работает около полос поглощения, в ультрафиолете и инфракрасном диапазоне, где показатель резко меняется; там используют уравнение Селлмейера.
• Неоднородные среды. У воздуха с разной температурой, как над горячей дорогой, показатель меняется плавно, поэтому свет искривляется, а не преломляется на одной поверхности, создавая миражи. В симуляции только резкие границы.
• Кристаллы, например кальцит, обладают двойным лучепреломлением: их показатель зависит от поляризации и направления, и один луч расщепляется на два.

Связанные инструменты

Симулятор линз и зеркал использует преломление на искривлённых поверхностях для построения изображений с разбором формулы тонкой линзы.