Как работает электромагнитная индукция: закон Фарадея, правило Ленца, генераторы и трансформаторы

Магнитный поток

Магнитный поток через контур показывает, сколько магнитного поля проходит через него: для однородного поля B, перпендикулярного плоскому контуру площадью A, Φ = B A, в веберах (тесла на квадратный метр). Если контур наклонён на угол θ, учитывается только составляющая поля вдоль его оси: Φ = B A cos θ. Катушка из N витков сцеплена с потоком в N раз больше, чем один виток.

Закон Фарадея

В 1831 году Майкл Фарадей обнаружил, что ток в катушке течёт всякий раз, когда меняется поток через неё, и только тогда. ЭДС (напряжение, которое меняющийся поток гонит по цепи) равна

ε = −N dΦ ÷ dt

Поток может меняться, потому что движется магнит, движется или поворачивается катушка, меняется сила поля или форма катушки. Неподвижный магнит внутри катушки, каким бы сильным он ни был, ничего не наводит. Удвоение скорости удваивает ЭДС; удвоение числа витков удваивает её ещё раз.

Правило Ленца: знак минус

Индукционный ток всегда течёт так, что его собственное магнитное поле противодействует изменению потока. Вдвиньте северный полюс в катушку, и ближний конец катушки тоже станет северным полюсом, отталкивая магнит; вытяните его, и этот конец станет южным полюсом, притягивая магнит обратно. Против этой силы приходится толкать, и совершённая работа и есть электрическая энергия, появляющаяся в цепи. Если бы индукционный ток помогал изменению, магнит сам разгонялся бы в катушку, и энергия бралась бы из ничего.

Разобранный пример: магнит и катушка

Неодимовый магнит с дипольным моментом 1 А·м² проходит со скоростью 1 м/с вдоль оси катушки из 200 витков радиусом 2 см.

1. Поток маленького магнита через один виток радиусом a на расстоянии d вдоль его оси равен Φ = μ₀ m a² ÷ (2 (a² + d²)^3/2). В центре (d = 0) это μ₀ m ÷ 2a = 1,26 × 10⁻⁶ ÷ 0,04 = 3,1 × 10⁻⁵ Вб.
2. Быстрее всего поток меняется при d = a ÷ 2 = 1 см от катушки, со скоростью 0,43 μ₀ m ÷ a² = 1,35 × 10⁻³ Вб на метр перемещения.
3. При 1 м/с: ε = 200 × 1,35 × 10⁻³ × 1 = 0,27 В в пике, положительная при входе и отрицательная при выходе и нулевая, когда магнит проходит центр, где поток наибольший, но мгновенно не меняется.
4. При 4 Ом провода катушки и нагрузке 10 Ом пиковый ток 0,27 ÷ 14 = 19 мА.

Генераторы

Вращайте катушку из N витков площадью A с угловой скоростью ω в однородном поле B. Поток через неё N B A cos ωt, поэтому

ε = N B A ω sin ωt, пик ε₀ = N B A ω, действующее значение = ε₀ ÷ √2

На выходе синусоида, меняющая знак дважды за оборот: переменный ток. Пример: 200 витков по 100 см² в поле 0,2 Тл, 50 оборотов в секунду (ω = 314 рад/с), дают пик 200 × 0,2 × 0,01 × 314 = 126 В, действующее напряжение 89 В. ЭДС наибольшая, когда плоскость катушки направлена вдоль поля, где поток через неё нулевой, но меняется быстрее всего. Генераторы электростанций работают так же, обычно с магнитом, вращающимся внутри неподвижных катушек, со скоростью 3000 или 3600 оборотов в минуту для 50 или 60 Гц.

Трансформаторы

У трансформатора две катушки на общем железном сердечнике. Переменный ток в первичной обмотке создаёт меняющийся поток в сердечнике, который проходит через вторичную и наводит в ней напряжение. Каждый виток любой обмотки видит одно и то же изменение потока, поэтому напряжение на виток одинаково:

V_s ÷ V_p = N_s ÷ N_p, а для идеального трансформатора V_p I_p = V_s I_s

Трансформатор в старом сетевом адаптере может понижать 230 В до 12 В при 1150 витках в первичной обмотке и 60 во вторичной. Линии электропередачи делают обратное: повышение напряжения в 10 раз снижает ток в 10 раз, а нагрев I²R в линиях — в 100 раз, поэтому электричество на большие расстояния передают при сотнях киловольт.

Как пользоваться симуляцией

В Симулятор электромагнитной индукции попробуйте:

• Выберите «Вручную, ползунком положения» и двигайте ползунок медленно, затем быстро: стрелка отклоняется тем сильнее, чем быстрее движение, и возвращается к нулю, когда вы останавливаетесь.
• Следите за буквами над катушкой, когда магнит входит и выходит: ближний конец катушки всегда совпадает с приближающимся полюсом и противостоит удаляющемуся.
• Переверните магнит: все токи меняют направление.
• В генераторе удвойте частоту: пиковое напряжение тоже удваивается, потому что поток меняется вдвое быстрее.
• В трансформаторе поменяйте витки местами, чтобы понизить напряжение, затем отметьте «Подать на трансформатор постоянный ток»: вторичная обмотка ничего не даёт.

Что предполагает модель

• Магнит — точечный диполь. Его поле — поле идеального диполя в его центре, что точно вдали от катушки, но грубо, когда магнит внутри неё.
• Короткая катушка. Поток усредняется по девяти виткам, распределённым на 4 см катушки радиусом 2 см, а сопротивление катушки 0,02 Ом на виток.
• Нет самоиндукции. Ток мгновенно следует за ЭДС, а собственное поле тока не действует на него обратно и не тормозит магнит.
• Однородное поле между полюсами генератора и катушка, вращающаяся с идеально постоянной скоростью.
• Идеальный трансформатор: нет сопротивления обмоток, нет потерь в сердечнике, весь поток проходит через обе катушки, нет тока намагничивания.
• Замедленное движение. Генератор рисуется не быстрее одного оборота в секунду, а поток трансформатора — полпериода в секунду; числа даны для настоящей частоты.

Крайние случаи

• Магнит в покое: ЭДС нигде нет, даже в центре катушки, где поток наибольший.
• Магнит в центре, движущийся: ЭДС там проходит через ноль, потому что поток максимален и мгновенно не меняется.
• Равное число витков у трансформатора: V_s = V_p; тогда он только развязывает одну цепь от другой, что полезно для безопасности.
• Постоянный ток в трансформаторе: выхода нет, а ток первичной обмотки ограничен только её проводом.

Где модель перестаёт быть верной

• Обратная ЭДС и торможение. Большой индукционный ток действительно отталкивает магнит и замедляет его; бросьте сильный магнит в медную трубу, и он будет падать медленно из-за вихревых токов, которые наводит. Симуляция двигает магнит с любой заданной скоростью.
• Индуктивность. Настоящая катушка противодействует изменению собственного тока, поэтому при большом числе витков и малой нагрузке ток запаздывает и меньше ε ÷ R, особенно на высокой частоте.
• Настоящие трансформаторы теряют 1–5% мощности на сопротивление обмоток и на гистерезис и вихревые токи в сердечнике, поэтому сердечник делают шихтованным. Их выходное напряжение проседает под нагрузкой, а железный сердечник насыщается, если его перегрузить или питать слишком низкой частотой.
• Меняющиеся электрические поля и излучение. На высоких частотах меняющиеся поля распространяются как электромагнитные волны, и понятия теории цепей вроде единой ЭДС по контуру перестают работать.

Связанные инструменты

Токи и мощность в нагрузке считает Калькулятор закона Ома; силу, с которой магнитное поле действует на движущийся заряд, — другую половину электромагнетизма — показывает Симулятор заряженной частицы в магнитном поле; а нагрузку можно собрать в Симулятор последовательных и параллельных цепей.