Симулятор доски Гальтона
Уравнения этой модели
| n | Рядов штырьков или число кубиков, n | каждый ряд — одно испытание «да или нет»: отскок вправо или влево | |
|---|---|---|---|
| p | Вероятность отскока вправо p | одинакова на каждом штырьке, и каждый отскок не зависит от предыдущего | |
| k | число отскоков вправо | в какую ячейку попадает шарик, считая слева; C(n, k) — число путей, которые там заканчиваются | |
| P(k) | биномиальная вероятность попасть в ячейку k | к средним ячейкам ведёт гораздо больше путей, поэтому они и заполняются |
При текущих значениях:
| μ | ожидаемое среднее | ячейка, вокруг которой центрируется куча | |
|---|---|---|---|
| σ | ожидаемое стандартное отклонение | растёт лишь как квадратный корень из n, поэтому с бо́льшим числом рядов куча относительно уже |
При текущих значениях:
| f | нормальная кривая с теми же μ и σ | хорошо заменяет биномиальное распределение, когда n p и n (1 − p) оба больше примерно 5; при p около 0 или 1 и малом числе рядов куча кривобока, и кривая не подходит |
|---|
При текущих значениях:
| O, E | наблюдаемые и ожидаемые числа в каждой ячейке | ячейки, где ожидается меньше 5 шариков, сначала объединяются с соседними | |
|---|---|---|---|
| χ² | статистика хи-квадрат | насколько куча отличается от биномиальной; p-значение — вероятность хотя бы такого расхождения чисто случайно |
При текущих значениях:
| n кубиков | Рядов штырьков или число кубиков, n | один кубик даёт ровное распределение, два — треугольник, а к пяти-шести сумма уже похожа на колокол: центральная предельная теорема |
|---|
При текущих значениях:
| N | шариков брошено | выборочное среднее отклоняется от μ всё меньше по мере роста N, как показывает график среднего во времени |
|---|
При текущих значениях:
Как пользоваться симулятором доски Гальтона
- Шарики падают сверху и на каждом штырьке отскакивают влево или вправо. Каждый попадает в ячейку, считающую, сколько раз он ушёл вправо, и столбики вырастают в колокол. Пунктир — точное биномиальное распределение, зелёная кривая — нормальное распределение с тем же средним и стандартным отклонением.
- Меняйте число рядов и вероятность отскока вправо — доска при этом очищается и начинает заново. При p далеко от 0,5 и малом числе рядов куча кособокая, и нормальная кривая подходит плохо; с большим числом рядов снова получается колокол. Критерий хи-квадрат и его p-значение говорят, согласуется ли куча с биномиальным распределением, а графики во времени показывают, как выборочное среднее устанавливается по мере падения шариков.
- Переключитесь на сумму кубиков: один кубик даёт плоское распределение, два — треугольник, но уже к пяти-шести кубикам сумма принимает форму колокола — центральная предельная теорема. Бросайте настоящие кубики в Бросить кубики и находите среднее и стандартное отклонение своих данных в Калькуляторе стандартного отклонения.
Частые вопросы
Что такое доска Гальтона?
Доска со штырьками в шахматных рядах, придуманная Фрэнсисом Гальтоном в 1870-х годах, также называемая квинкунксом. Каждый шарик на каждом ряду выбирает лево или право, поэтому ячейка, куда он попадает, считает его отскоки вправо, и куча внизу следует биномиальному распределению. При многих рядах она похожа на нормальную кривую.
Почему шарики скапливаются в середине?
К средним ячейкам ведёт гораздо больше путей, чем к краям. При 12 рядах к крайней левой ячейке ведёт всего один путь — все влево, а к средней — 924 разных пути. При равных шансах каждый путь равновероятен, поэтому средняя ячейка получает в 924 раза больше шариков, чем крайняя: C(n, k) способов попасть в ячейку k.
Что такое центральная предельная теорема?
Сумма (или среднее) многих независимых случайных величин стремится к нормальному распределению, каким бы ни было распределение каждой, если у неё конечный разброс. Каждый штырёк — крошечный случайный шаг на плюс или минус один, а кубики по отдельности плоские, но и то и другое в сумме даёт колокол. Поэтому нормальное распределение так часто встречается в измерениях.
Сколько шариков нужно, чтобы куча выглядела правильно?
Случайный разброс в каждой ячейке примерно равен квадратному корню из её числа, поэтому ячейка, ожидающая 100 шариков, обычно отклоняется на 10 (10%), а ожидающая 10 000 — на 100 (1%). Несколько сотен шариков показывают форму; чтобы она выглядела гладкой, нужны тысячи. Для честной доски p-значение хи-квадрат может оказаться где угодно между 0 и 1, ниже 0,05 — примерно один раз из двадцати.
Пишет, что WebGL выключен.
Для 3D-вида нужен WebGL, который есть во всех современных браузерах. Он может быть выключен, если в настройках браузера отключено аппаратное ускорение или графический драйвер очень старый. Включите аппаратное ускорение или попробуйте другой браузер.
Загружается ли что-нибудь?
Нет. Симуляцию рисует ваш собственный браузер с помощью WebGL; ничего никуда не отправляется, и после загрузки страницы она работает и офлайн.