Симулятор рядов Фурье
Уравнения этой модели
| n | номер гармоники | окружность n вращается в n раз быстрее первой; здешним волнам нужны только синусы | |
|---|---|---|---|
| b_n | амплитуда гармоники n | радиус окружности n | |
| N | Число членов | сколько окружностей сложено; высота пера — частичная сумма |
При текущих значениях:
| убывание | как быстро уменьшаются члены | как 1 ÷ n для волн со скачками, 1 ÷ n² для треугольника, у которого только изломы: более гладким формам нужно меньше членов |
|---|
При текущих значениях:
| Гиббс | выброс рядом со скачком | около 9% скачка, сколько бы членов ни добавить: рябь становится уже, но не ниже |
|---|
При текущих значениях:
| Парсеваль | мощность в первых N членах от полной | какую часть волны охватили окружности |
|---|
При текущих значениях:
| c_k | один эпицикл фигуры | дискретное преобразование Фурье M точек z_j = x + iy по контуру; сначала используются самые большие окружности |
|---|
При текущих значениях:
Как пользоваться симулятором рядов Фурье
- Выберите прямоугольную, пилообразную или треугольную волну. Каждая окружность вращается с целым кратным скорости первой, а её радиус — амплитуда этой гармоники; перо на конце цепочки рисует сумму, которая уплывает вправо поверх точной волны зелёным.
- Добавляйте члены ползунком и смотрите, как волна становится резче. Рядом с каждым скачком сумма выбрасывается примерно на 9%, сколько бы членов вы ни добавили, — явление Гиббса; ошибка и доля захваченной мощности указаны под картинкой, а график показывает спектр гармоник. Отметьте «Воспроизвести волну как звук», чтобы услышать, как мягкая синусоида превращается в жужжащую прямоугольную волну по мере добавления гармоник.
- Переключитесь на сердце или звезду или выберите «Ваш рисунок» и проведите замкнутую фигуру по картинке, и эпициклы обведут её по дискретному преобразованию Фурье, начиная с самых больших окружностей. Несколько окружностей дают грубую кляксу; больше — добавляют углы. Затем нажмите «Найти уравнение Фурье», чтобы увидеть рисунок записанным как z(t), а также x(t) и y(t), со всеми используемыми окружностями. Симулятор стоячих волн показывает гармоники на струне.
Частые вопросы
Что такое ряд Фурье?
Способ записать любой повторяющийся сигнал как сумму синусоид и косинусоид с частотами, кратными частоте повторения. Жозеф Фурье ввёл его в 1807 году для решения уравнения теплопроводности. На нём основаны сжатие звука, форматы изображений вроде JPEG, радио и анализ всего, что колеблется.
Почему прямоугольной волне нужны только нечётные гармоники?
У прямоугольной волны полупериодная симметрия: вторая половина — перевёрнутая первая. Чётные гармоники нарушили бы эту симметрию, поэтому их коэффициенты равны нулю. Нечётные гармоники имеют амплитуды 4 ÷ (nπ): треть, пятая, седьмая часть первой, убывая медленно из-за резких скачков.
Что такое явление Гиббса?
Вблизи скачка частичная сумма Фурье выбрасывается примерно на 9% скачка, и добавление членов делает рябь уже, но не ниже. В среднем сумма всё равно приближается к волне, так как рябь занимает всё меньшую часть периода, но скачок она никогда не повторяет точно.
Как окружности рисуют картинку?
Каждую точку контура записывают как комплексное число x + iy и берут дискретное преобразование Фурье. Каждый коэффициент — окружность постоянного радиуса, вращающаяся со своей целой скоростью, одни в одну сторону, другие в другую. Сложенные конец к началу, они точно обводят контур, когда используются все, и приближённо — с несколькими самыми большими.
Пишет, что WebGL выключен.
Для 3D-вида нужен WebGL, который есть во всех современных браузерах. Он может быть выключен, если в настройках браузера отключено аппаратное ускорение или графический драйвер очень старый. Включите аппаратное ускорение или попробуйте другой браузер.
Загружается ли что-нибудь?
Нет. Симуляцию рисует ваш собственный браузер с помощью WebGL; ничего никуда не отправляется, и после загрузки страницы она работает и офлайн.