Колебания: учебное руководство

Главные идеи

Система при гармонических колебаниях движется туда и обратно, потому что возвращающая сила тянет её к равновесию пропорционально смещению. Движение повторяется с постоянным периодом.

• Период T — время одного колебания, частота f = 1 ÷ T, а циклическая частота ω = 2πf.
• Для груза на пружине T = 2π√(m ÷ k), для математического маятника при малых углах T = 2π√(L ÷ g). Ни один из периодов не зависит от амплитуды.
• Полная энергия ½kA² постоянна и перетекает между кинетической и потенциальной. Скорость наибольшая в центре и нулевая на краях.
• Ускорение наибольшее на краях движения, где возвращающая сила максимальна.

Основные формулы

• T = 1 ÷ f
• ω = 2πf
• T = 2π√(m ÷ k) (spring)
• T = 2π√(L ÷ g) (pendulum)
• E = ½kA²
• v_max = Aω
• a_max = Aω²

Разобранный пример

Груз массой 0,50 кг на пружине жёсткостью 200 Н/м колеблется с амплитудой 0,10 м. ω = √(k ÷ m) = √400 = 20 рад/с, поэтому T = 2π ÷ 20 = 0,31 с, а f = 3,2 Гц. Максимальная скорость Aω = 0,10 × 20 = 2,0 м/с. Энергия ½kA² = ½ × 200 × 0,010 = 1,0 Дж равна ½mv² в центре: ½ × 0,50 × 4,0 = 1,0 Дж.

Частые ошибки

• Мнение, что большая амплитуда означает больший период. У идеальных осцилляторов период от амплитуды не зависит.
• Вера в то, что более тяжёлый груз маятника качается медленнее. Период определяется длиной и g, но не массой.
• Путаница между частотой f в герцах и циклической частотой ω в радианах в секунду.

Практика

Проверьте себя на тренировочных вопросах по этой теме: Колебания