Вероятность и распределения: учебное руководство

Главные идеи

Вероятность сопоставляет неопределённым событиям числа от 0 до 1. Несколько правил — для объединения событий, подсчёта расстановок и стандартизации нормального значения — покрывают большинство задач.

• Вероятность A или B равна P(A) + P(B) − P(A и B). Для независимых событий P(A и B) = P(A) × P(B).
• Условная вероятность P(A | B) = P(A и B) ÷ P(B).
• Упорядоченные выборки считают размещениями nPr, а неупорядоченные — сочетаниями nCr. Биномиальная вероятность k успехов в n испытаниях равна C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
• z-оценка z = (x − μ) ÷ σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение удалено от среднего. Математическое ожидание — Σ x·P(x).

Основные формулы

• z = (x − μ) ÷ σ
• P(k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
• nPr = n! ÷ (n − r)!, nCr = n! ÷ (r!(n − r)!)

Разобранный пример

IQ 115 при среднем 100 и стандартном отклонении 15 имеет z = (115 − 100) ÷ 15 = 1. Вероятность ровно 2 орлов при 5 честных бросках равна C(5, 2) × 0,5⁵ = 10 ÷ 32 = 0,3125. Выбор и упорядочение 3 из 8 бегунов для пьедестала даёт 8P3 = 336, а выбор команды из 3 человек — 8C3 = 56.

Частые ошибки

• Сложение P(A) и P(B) без вычитания пересечения, что может дать вероятность больше 1.
• Использование сочетаний, когда важен порядок, или размещений, когда он не важен.
• Рассмотрение зависимых событий как независимых и их перемножение.

Практика

Проверьте себя на тренировочных вопросах по этой теме: Вероятность и распределения