प्रायिकता और बंटन: अध्ययन गाइड

मुख्य विचार

प्रायिकता अनिश्चित घटनाओं को 0 और 1 के बीच संख्याएँ देती है। घटनाओं को मिलाने, व्यवस्थाएँ गिनने और सामान्य मान को मानकीकृत करने के कुछ नियम अधिकांश प्रश्न हल कर देते हैं।

• A या B की प्रायिकता P(A) + P(B) − P(A और B) है। स्वतंत्र घटनाओं के लिए P(A और B) = P(A) × P(B)।
• सप्रतिबंध प्रायिकता P(A | B) = P(A और B) ÷ P(B) है।
• क्रमित चयन क्रमचय nPr से और अक्रमित चयन संचय nCr से गिनें। n प्रयासों में k सफलताओं की द्विपद प्रायिकता C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ है।
• z-प्राप्तांक z = (x − μ) ÷ σ बताता है कि मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है। प्रत्याशित मान Σ x·P(x) है।

मुख्य समीकरण

• z = (x − μ) ÷ σ
• P(k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
• nPr = n! ÷ (n − r)!, nCr = n! ÷ (r!(n − r)!)

हल किया हुआ उदाहरण

माध्य 100 और मानक विचलन 15 वाले IQ 115 का z = (115 − 100) ÷ 15 = 1 है। 5 निष्पक्ष उछालों में ठीक 2 चित आने की प्रायिकता C(5, 2) × 0.5⁵ = 10 ÷ 32 = 0.3125 है। 8 धावकों में से 3 को पोडियम के लिए चुनकर क्रम देने पर 8P3 = 336 और 3 सदस्यों की टीम चुनने पर 8C3 = 56 मिलता है।

आम गलतियाँ

• अंतराल घटाए बिना P(A) और P(B) जोड़ देना, जिससे 1 से अधिक प्रायिकता आ सकती है।
• क्रम महत्वपूर्ण होने पर संचय, या महत्वपूर्ण न होने पर क्रमचय का उपयोग करना।
• आश्रित घटनाओं को स्वतंत्र मानकर गुणा करना।

अभ्यास

इस विषय के अभ्यास प्रश्नों से खुद को परखें: प्रायिकता और बंटन