मुख्य विचार
नियत चाल से वृत्त में घूमती वस्तु का त्वरण हमेशा केंद्र की ओर होता है। ग्रहों और उपग्रहों के लिए गुरुत्व यह अंदर की ओर बल देता है, जो वृत्तीय गति को कक्षाओं से जोड़ता है।
- अभिकेंद्र त्वरण v² ÷ r है और केंद्र की ओर नेट बल mv² ÷ r। यह कोई अलग बल नहीं है, बल्कि केंद्र की ओर लगने वाले जिस भी बल का नाम है।
- चाल नियत रह सकती है जबकि वेग बदलता है, क्योंकि दिशा बदलती है।
- गुरुत्व केंद्र से दूरी के वर्ग के साथ घटता है, इसलिए g = GM ÷ r²।
- वृत्तीय कक्षा में v = √(GM ÷ r) होता है, जो उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता। पलायन चाल √2 गुनी अधिक होती है।
मुख्य समीकरण
a_c = v² ÷ rF_c = mv² ÷ rF = Gm₁m₂ ÷ r²g = GM ÷ r²v = √(GM ÷ r)v_esc = √(2GM ÷ r)T = 2πr ÷ v
हल किया हुआ उदाहरण
एक उपग्रह पृथ्वी की सतह से 400 km ऊपर चक्कर लगाता है। r = 6.37 × 10⁶ + 0.40 × 10⁶ = 6.77 × 10⁶ m और GM = 3.99 × 10¹⁴ m³/s² लें। तब v = √(GM ÷ r) = √(5.89 × 10⁷) = 7.7 × 10³ m/s, और आवर्तकाल T = 2πr ÷ v = 5.5 × 10³ s, लगभग 92 मिनट।
आम गलतियाँ
- मुक्त-वस्तु आरेख में गुरुत्व या तनाव के अलावा अभिकेंद्र बल को अतिरिक्त बल की तरह बनाना।
- गुरुत्व के सूत्रों में ग्रह के केंद्र से दूरी की जगह सतह से ऊँचाई लेना।
- यह सोचना कि अंतरिक्ष यात्री इसलिए तैरते हैं क्योंकि गुरुत्व नहीं है। वे इसलिए तैरते हैं कि वे पृथ्वी के चारों ओर मुक्त पतन में हैं।
अभ्यास
इस विषय के अभ्यास प्रश्नों से खुद को परखें: वृत्तीय गति और गुरुत्वाकर्षण