الحركة الدائرية والجاذبية: دليل دراسة

الأفكار الأساسية

الجسم الذي يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة يتسارع دائماً نحو المركز. توفّر الجاذبية هذه القوة الموجهة إلى الداخل للكواكب والأقمار الصناعية، فتربط الحركة الدائرية بالمدارات.

• التسارع المركزي هو v² ÷ r والقوة المحصلة نحو المركز mv² ÷ r. ليست قوة منفصلة بل اسم للقوة، أياً كانت، التي تتجه نحو المركز.
• قد يبقى مقدار السرعة ثابتاً بينما تتغير السرعة المتجهة لأن الاتجاه يتغير.
• تتناقص الجاذبية مع مربع البعد عن المركز، فيكون g = GM ÷ r².
• في المدار الدائري v = √(GM ÷ r) ولا تتوقف على كتلة القمر الصناعي. وسرعة الإفلات أكبر منها بمقدار √2 مرة.

المعادلات الأساسية

• a_c = v² ÷ r
• F_c = mv² ÷ r
• F = Gm₁m₂ ÷ r²
• g = GM ÷ r²
• v = √(GM ÷ r)
• v_esc = √(2GM ÷ r)
• T = 2πr ÷ v

مثال محلول

يدور قمر صناعي حول الأرض على ارتفاع 400 km عن السطح. لنأخذ r = 6.37 × 10⁶ + 0.40 × 10⁶ = 6.77 × 10⁶ m و GM = 3.99 × 10¹⁴ m³/s². عندئذٍ v = √(GM ÷ r) = √(5.89 × 10⁷) = 7.7 × 10³ m/s، والزمن الدوري T = 2πr ÷ v = 5.5 × 10³ s أي نحو 92 دقيقة.

أخطاء شائعة

• رسم القوة المركزية قوة إضافية في مخطط الجسم الحر إلى جانب الجاذبية أو الشد.
• استعمال الارتفاع فوق السطح بدل البعد عن مركز الكوكب في صيغ الجاذبية.
• الظن أن رواد الفضاء يطفون لأنه لا توجد جاذبية. هم يطفون لأنهم في سقوط حر حول الأرض.

تدرّب

اختبر نفسك بأسئلة تدريبية في هذا الموضوع: الحركة الدائرية والجاذبية