اللوح
لوح غالتون لوح فيه مسامير في صفوف متناوبة فوق صف من الخانات. الكرة التي تُترك من الأعلى تصطدم بمسمار في كل صف وتذهب يسارًا أو يمينًا، ثم تسقط في الخانة التي توافق عدد المرات التي ذهبت فيها يمينًا. بنى فرانسيس غالتون واحدًا في سبعينيات القرن التاسع عشر ليُظهر كيف ينشأ النظام من الصدفة: مسار كل كرة لا يمكن التنبؤ به، لكن آلاف الكرات تكوّن دائمًا الكومة نفسها على شكل جرس.
صيغة ذي الحدين
مع n صف واحتمال p للذهاب يمينًا عند كل مسمار، يكون احتمال السقوط في الخانة k (k مرة يمينًا من n) هو
P(k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k
C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) تعدّ المسارات التي تنتهي في الخانة k، وpk(1 − p)n − k احتمال كل منها.
مثال: 12 صفًا، p = 0.5. الخانة الوسطى، k = 6، لها C(12, 6) = 924 مسارًا، احتمال كل منها 0.512 = 1 ÷ 4,096، فـ P(6) = 924 ÷ 4,096 = 22.6%. وخانة الطرف لها مسار واحد: 1 ÷ 4,096 = 0.024%. ومن 1,000 كرة، ستسقط نحو 226 في الوسط ولا شيء، أو ربما واحدة، في كل طرف.
المتوسط والانحراف المعياري
μ = n p وσ = √(n p (1 − p))
لـ 12 صفًا مع p = 0.5، μ = 6 وσ = √3 = 1.73. في التوزيع الطبيعي تقع 68% على أقل من σ واحدة من المتوسط و95% على أقل من اثنتين؛ وفي هذا اللوح تتلقى الخانات من 5 إلى 7 نسبة 61% من الكرات، لأن الخانات أعداد صحيحة وσ واحدة لا تصل تمامًا إلى الخانتين 4 و8. ولا تكبر σ إلا مثل √n، فلوح بصفوف أكثر بأربع مرات كومته أعرض بالضعف، لكنها بالنسبة إلى عرض اللوح نصف العرض.
التقريب الطبيعي
لـ n الكبيرة يشبه ذو الحدين كثيرًا المنحنى الطبيعي بالمتوسط والانحراف المعياري نفسيهما، f(x) = e−(x − μ)²/2σ² ÷ (σ√(2π)). وقاعدة شائعة أنه ينجح حين تكون n p وn (1 − p) كلتاهما 5 على الأقل (تقول بعض الكتب 10). مع p = 0.1 و12 صفًا، n p = 1.2: تلتصق الكومة بالحافة اليسرى وتكون ملتوية (الالتواء (1 − 2p) ÷ σ = 0.77)، ولا يناسبها الجرس المتماثل جيدًا.
نظرية النهاية المركزية
كل ارتداد يضيف خطوة عشوائية صغيرة، والخانة مجموعها. وتقول نظرية النهاية المركزية إن مجموع كميات عشوائية مستقلة كثيرة يقترب من توزيع طبيعي أيًا كان توزيع كل منها، ما دام له تشتت محدود. والنرد يُظهر ذلك جيدًا. النرد الواحد مسطح: كل وجه 1 من 6. ونردان يكوّنان مثلثًا قمته عند 7. ومجموع n نرد متوسطه 3.5 n وتباينه 35 n ÷ 12، ومع خمسة أو ستة أحجار نرد يصعب تمييزه من جرس. ولهذا تبدو الأطوال وأخطاء القياس ودرجات الامتحانات، وكل منها مجموع تأثيرات صغيرة كثيرة، طبيعية كثيرًا.
اختبار كومة: مربع كاي
هل تتوافق الكومة مع ذي الحدين، أم أن اللوح منحاز؟ قارن الأعداد المرصودة O بالمتوقعة E = N × P(k) باستخدام
χ2 = Σ (O − E)2 ÷ E
اجمع الخانات المتجاورة حتى تتوقع كل منها 5 كرات على الأقل، واستخدم عدد الخانات − 1 درجة حرية. والقيمة p هي احتمال χ2 بهذا الحجم إن كان اللوح عادلًا. مثال: 200 كرة في لوح من 4 صفوف مع p = 0.5 تتوقع 12.5، 50، 75، 50، 12.5. ويُرصد 15، 44، 80، 47، 14: χ2 = 0.50 + 0.72 + 0.33 + 0.18 + 0.18 = 1.91 بـ 4 درجات حرية، p = 0.75، متوافق تمامًا مع الصدفة.
كيف تستخدم المحاكاة
يُسقط محاكي لوح غالتون الكرات بلا توقف. تُظهر الأعمدة الجزء في كل خانة، والخط المتقطع التوزيع الدقيق، والمنحنى الأخضر الطبيعي. وتحت الصورة المتوسط والانحراف المعياري للعينة بجوار المتوقعين، واختبار مربع كاي. أشياء تجربها:
- راقب متوسط العينة في المخطط عبر الزمن: يتأرجح في البداية ثم يستقر نحو μ، بخطأ يصغر مثل σ ÷ √N.
- اضبط p على 0.15 مع 6 صفوف: تكون الكومة ملتوية ولا يتبعها المنحنى الطبيعي. ارفع إلى 20 صفًا فتعود جرسًا.
- انتقل إلى النرد واذهب بـ n من 1 إلى 6: مسطح، فمثلث، ثم جرس.
- اتركه يعمل وراقب القيمة p: في لوح عادل تتحرك بين 0 و1 وتنزل تحت 0.05 تقريبًا مرة من كل عشرين.
ما يفترضه النموذج
- ارتدادات مستقلة بالقيمة p نفسها. كل مسمار رمية عملة جديدة، دون تأثر بالسابقة. وهذا تعريف عملية ذي الحدين.
- ارتداد واحد بالضبط في كل صف. تصطدم الكرة دائمًا بالمسمار التالي وتتحرك نصف مسافة يسارًا أو يمينًا؛ ولا تتخطى صفًا ولا ترتد مرتين.
- الكرات لا تتفاعل. تعبر بعضها ولا تعلق ولا يزيح بعضها بعضًا أبدًا.
- نرد عادل، كل وجه 1 من 6 بالضبط، في وضع النرد.
- مولّد أرقام شبه عشوائية يقوم مقام الصدفة. وهو أكثر انتظامًا بكثير مما يحتاجه أي لوح حقيقي.
الحالات الحدية
- صف واحد رمية عملة واحدة: خانتان، بجزأين 1 − p وp، ولا معنى للجرس.
- p قرب 0 أو 1: تتبع كل الكرات تقريبًا مسار الحافة نفسه؛ والتوزيع غير متماثل ويشبه أكثر توزيع بواسون بمتوسط n p.
- كرات قليلة: مع أقل من بضع عشرات تكون الكومة غير منتظمة ولاختبار مربع كاي كرات قليلة جدًا في كل خانة؛ انتظر حتى تكون لديك خانتان على الأقل بـ 5 متوقعة.
- نرد واحد يعطي توزيعًا مسطحًا بلا قمة، نقيض الجرس، وهو نقطة انطلاق نظرية النهاية المركزية.
أين يتوقف النموذج عن الصلاحية
- ألواح غالتون الحقيقية ليست مثالية. للكرة قصور ذاتي: بعد ذهابها يمينًا يزداد قليلًا احتمال أن تذهب يمينًا مرة أخرى، فتترابط الارتدادات وتخرج الكومة أعرض من ذي الحدين. وقد تتخطى الكرات مسامير أو تعلق.
- ليس كل شيء مجموعًا. الكميات الناتجة عن ضرب عوامل كثيرة، كالدخل أو أحجام الجسيمات، لوغاريتمية طبيعية، ملتوية بذيل طويل؛ وتنطبق نظرية النهاية المركزية على لوغاريتماتها.
- الذيول الثقيلة. إن لم يكن للخطوات المنفردة تباين محدود (توزيع كوشي مثلًا)، فمجموعها لا يصبح طبيعيًا أبدًا.
- الاعتماد. تحركات البورصة والأوبئة وغيرها من العمليات التي يغيّر فيها حدثٌ الحدثَ التالي لا تتبع ذا الحدين؛ ومعاملتها كعملات مستقلة يقلل من تقدير القيم القصوى.
- المنحنى الطبيعي متصل وبلا حدود، لكن الخانات أعداد صحيحة من 0 إلى n؛ وبعيدًا جدًا في الذيول يعطي احتمالات صغيرة لكنها مستحيلة تحت 0 أو فوق n.
أدوات ذات صلة
احسب المتوسط والانحراف المعياري والخطأ المعياري لبياناتك بـ حاسبة الانحراف المعياري (والانحراف المعياري والخطأ المعياري)، وارمِ عملات حقيقية بـ رمي العملة ونردًا بـ رامي النرد؛ ويحسب احتمالات النرد: فرص كل رمية الاحتمالات يدويًا.