Binom dağılımı ve Galton tahtası: yazı turadan çan eğrisine

Tahta

Galton tahtası, bir kutucuk sırasının üstünde kaydırmalı sıralar halinde dizilmiş çivilerden oluşan bir tahtadır. Tepeden bırakılan bir top her sırada bir çiviye çarpar, sola ya da sağa gider ve kaç kez sağa gittiğine denk gelen kutucuğa düşer. Francis Galton bunu 1870’lerde düzenin rastlantıdan nasıl doğduğunu göstermek için yaptı: her topun yolu öngörülemez, ama binlerce top her zaman aynı çan biçimli yığını kurar.

Binom formülü

n sırayla ve her çivide sağa gitme olasılığı p ile, k kutucuğuna (n’de k kez sağa) düşme olasılığı

P(k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}

C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!), k kutucuğunda biten yolları sayar; p^k(1 − p)^{n − k} de bunlardan herhangi birinin olasılığıdır.

Çözümlü örnek: 12 sıra, p = 0,5. Ortadaki kutucuğun, k = 6, C(12, 6) = 924 yolu vardır; her birinin olasılığı 0,5¹² = 1 ÷ 4.096’dır, yani P(6) = 924 ÷ 4.096 = %22,6. Uçtaki bir kutucuğun tek bir yolu vardır: 1 ÷ 4.096 = %0,024. 1.000 topta ortada yaklaşık 226, iki uçta da hiç ya da belki bir top bekle.

Ortalama ve standart sapma

μ = n p ve σ = √(n p (1 − p))

p = 0,5’te 12 sıra için μ = 6 ve σ = √3 = 1,73’tür. Normal dağılımda ortalamanın bir σ’sı içinde %68, iki σ’sı içinde %95 bulunur; bu tahtada 5 ila 7 kutucukları topların %61’ini tutar, çünkü kutucuklar tam sayıdır ve bir σ 4 ve 8 kutucuklarına tam olarak uzanmaz. σ yalnızca √n ile büyür; yani dört kat fazla sıralı bir tahtanın yığını iki kat geniştir, ama tahtanın genişliğine göre yarı yarıya daha dardır.

Normal yaklaşım

Büyük n’de binom, aynı ortalama ve standart sapmaya sahip normal eğriye yakındır: f(x) = e^{−(x − μ)²/2σ²} ÷ (σ√(2π)). Yaygın bir kural, n p ve n (1 − p) ikisi de en az 5 olduğunda (bazı kitaplar 10 der) bunun işe yaradığıdır. p = 0,1 ve 12 sırayla n p = 1,2: yığın sol kenara yığılır ve çarpıktır (çarpıklık (1 − 2p) ÷ σ = 0,77) ve simetrik çan ona kötü uyar.

Merkezi limit teoremi

Her sıçrama küçük bir rastgele adım ekler ve kutucuk bunların toplamıdır. Merkezi limit teoremi, her birinin kendi dağılımı ne olursa olsun, sonlu bir yayılımı olması koşuluyla, çok sayıda bağımsız rastgele niceliğin toplamının normal dağılıma yaklaştığını söyler. Zarlar bunu iyi gösterir. Tek zar düzdür: her yüz 6’da 1. İki zar 7’de tepe yapan bir üçgen verir. n zarın toplamının ortalaması 3,5 n, varyansı 35 n ÷ 12’dir ve beş ya da altı zarda bunu bir çandan ayırmak güçleşir. Her biri birçok küçük etkinin toplamı olan boyların, ölçüm hatalarının ve sınav puanlarının bu kadar sık normal görünmesinin nedeni budur.

Bir yığını test etmek: ki-kare

Bir yığın binomla uyumlu mu, yoksa tahta yanlı mı? Gözlenen O sayımlarını beklenen E = N × P(k) sayımlarıyla şöyle karşılaştır:

χ² = Σ (O − E)² ÷ E

Her biri en az 5 top bekleyene kadar komşu kutucukları birleştir, sonra kutucuk sayısı − 1 serbestlik derecesi kullan. p değeri, tahta hilesizse bu kadar büyük bir χ² çıkma olasılığıdır. Çözümlü örnek: p = 0,5’te 4 sıralı bir tahtada 200 top 12,5; 50; 75; 50; 12,5 bekler. Gözlenen 15, 44, 80, 47, 14: χ² = 0,50 + 0,72 + 0,33 + 0,18 + 0,18 = 1,91; 4 serbestlik derecesiyle p = 0,75, yani tamamen rastlantıyla uyumlu.

Simülasyonu kullanmak

Galton tahtası simülatörü topları sürekli bırakır. Çubuklar her kutucuktaki payı, kesikli çizgi tam dağılımı ve yeşil eğri normal dağılımı gösterir. Resmin altında örnek ortalaması ve standart sapması beklenen değerlerin yanında ve ki-kare testi bulunur. Denenecek şeyler:

Grafikte örnek ortalamasını zaman içinde izle: başta gezinir ve μ’ye doğru oturur; hatası σ ÷ √N ile küçülür.
6 sırayla p’yi 0,15 yap: yığın çarpıktır ve normal eğri onu tutmaz. Sıraları 20’ye çıkar ve yeniden bir çana dönüşür.
Zarlara geç ve n’yi 1’den 6’ya artır: düz, üçgen, sonra çan.
Çalışmaya bırak ve p değerine bak: hilesiz bir tahtada 0 ile 1 arasında her yere gider ve yirmide bir kez 0,05’in altına iner.

Modelin varsayımları

Aynı p ile bağımsız sıçramalar. Her çivi, bir öncekinden etkilenmeyen yeni bir yazı turadır. Binom sürecinin tanımı budur.
Sıra başına tam olarak bir sıçrama. Top her zaman bir sonraki çiviye çarpar ve yarım çivi aralığı sola ya da sağa gider; asla bir sırayı atlamaz ya da iki kez sıçramaz.
Toplar etkileşmez. Birbirinin içinden geçer, asla sıkışmaz ya da diğerlerini kenara itmez.
Zar kipinde hilesiz zarlar; her yüz tam olarak 6’da 1.
Rastlantının yerini bir sözde rastgele sayı üreteci tutar. Gerçek hiçbir tahtanın ihtiyaç duyduğundan çok daha düzgündür.

Sınır durumları

Tek sıra tek bir yazı turadır: payları 1 − p ve p olan iki kutucuk; çan eğrisi anlamsızdır.
0’a ya da 1’e yakın p: neredeyse her top aynı kenar yolunu izler; dağılım çarpıktır ve ortalaması n p olan bir Poisson dağılımına daha yakındır.
Az top: birkaç düzineden azıyla yığın düzensizdir ve ki-kare testinin çalışması için kutucuk başına yeterli top yoktur; test, beklenen değeri 5 olan en az iki kutucuğu bekler.
Tek zar tepesi olmayan düz bir dağılım verir; bu, bir çanın tam tersidir ve merkezi limit teoreminin yola çıktığı başlangıç noktasıdır.

Modelin doğru olmaktan çıktığı yerler

Gerçek Galton tahtaları ideal değildir. Bir topun momentumu vardır: sağa gittikten sonra yine sağa gitme olasılığı biraz daha yüksektir; yani sıçramalar ilintilidir ve yığın binomdan daha geniş çıkar. Toplar ayrıca çivileri atlayabilir ya da sıkışabilir.
Her şey bir toplam değildir. Gelirler ya da parçacık boyutları gibi çok sayıda etkenin çarpımından çıkan nicelikler, uzun kuyruklu ve çarpık olan lognormal dağılım gösterir; merkezi limit teoremi onların logaritmalarına uygulanır.
Ağır kuyruklar. Tek tek adımların sonlu bir varyansı yoksa (örneğin bir Cauchy dağılımı), toplamları asla normale dönüşmez.
Bağımlılık. Hisse fiyatı hareketleri, salgınlar ve bir olayın bir sonrakini değiştirdiği diğer süreçler binomu izlemez; onları bağımsız yazı tura gibi ele almak uç değerleri olduğundan küçük gösterir.
Normal eğri sürekli ve sınırsızdır, ama kutucuklar 0’dan n’ye tam sayılardır; kuyrukların uzağında 0’ın altında ya da n’nin üstünde küçük ama olanaksız olasılıklar verir.

İlgili araçlar

Kendi verinin ortalamasını, standart sapmasını ve standart hatasını Standart sapma hesaplayıcı (ve Standart sapma ve standart hata) ile hesapla, Yazı tura ile gerçek para at ve Zar at ile zar at; Zar olasılığı: her atışın ihtimali olasılıkları elle hesaplar.

Binom dağılımı, çan eğrisi ve Galton tahtası