Süreklilik: giren çıkmak zorundadır
Bir sıvı neredeyse hiç sıkışmaz; yani kaçağı olmayan bir boruda her saniye her kesitten aynı hacmin geçmesi gerekir. Hacimsel debi, kesit çarpı ortalama hızdır; yani
Q = A₁ v₁ = A₂ v₂; A = π D² ÷ 4
Boru daraldığı yerde akışkan, alanların oranı kadar, yani çapların oranının karesi kadar hızlanır. Çapı yarıya indir ve hız dört katına çıkar. Bahçe hortumunun ucunu başparmağınla kapatmanın suyu daha uzağa fışkırtmasının nedeni budur.
Bernoulli denklemi
Akışkanı hızlandırmak enerji ister ve sürtünmesiz kararlı bir akışta bu enerji basınçtan gelir. Daniel Bernoulli 1738’de bir akım çizgisi boyunca şunu gösterdi:
P + ½ ρ v² + ρ g z = sabit
- P basınçtır; arkadaki akışkanın öndeki akışkanı iterek yaptığı iştir.
- ½ρv², birim hacim başına kinetik enerjidir; bazen dinamik basınç denir.
- ρgz, z yüksekliğinde birim hacim başına potansiyel enerjidir.
Yani akışkanın daha hızlı ya da daha yüksek gittiği yerde basıncı daha düşüktür. Bu, akışkanın metreküpü başına yazılmış enerji korunumudur.
Çözümlü bir örnek
Su (ρ = 998 kg/m³), 5 cm’lik bir boğaza daralan 10 cm’lik bir boruda 10 L/s akıyor, sonra 1 m yükseliyor. Girişteki basınç atmosferin 150 kPa üstündedir.
- Alanlar: A₁ = π × 0,1² ÷ 4 = 0,00785 m², A₂ = 0,00196 m².
- Hızlar: v₁ = 0,010 ÷ 0,00785 = 1,27 m/s, v₂ = 0,010 ÷ 0,00196 = 5,09 m/s.
- Boğazdaki basınç: ½ × 998 × (5,09² − 1,27²) = 12,1 kPa daha düşük, yani 137,9 kPa.
- Yükselmeden sonra, yeniden 10 cm’lik boruda: hız yine 1,27 m/s’dir; yani girişten tek değişiklik ρgh = 998 × 9,81 × 1 = 9,8 kPa’dır ve 140,2 kPa kalır.
Basınç boğazdan sonra geri gelir: (sürtünme olmadan) hiçbir şey kaybolmaz, yalnızca hıza ve geri dönüştürülmüştür.
Venturi ölçer
Örneği tersine çevir: boru ile boğaz arasındaki basınç düşümünü ölç; süreklilik ve Bernoulli birlikte akışı verir,
Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))
ΔP = 12,1 kPa ile bu 10 L/s döndürür. Venturi ölçerler su şebekelerinde ve endüstriyel borularda hareketli parça olmadan akış ölçer; gerçek olanlar sürtünmeyi hesaba katmak için yaklaşık 0,98’lik bir debi katsayısıyla çarpar. Aynı ilke karbüratörleri, boya tabancalarını ve hastanelerde oksijeni havayla karıştıran Venturi maskelerini çalıştırır.
Viskozluk ve Reynolds sayısı
Gerçek akışkanlar viskozdur: duvara yapışırlar, yani hız orada sıfırdır ve ortada en büyüktür. Akışın nasıl davrandığı Reynolds sayısına bağlıdır:
Re = ρ v D ÷ μ
Burada μ viskozluktur. Yaklaşık 2.300’ün altında borudaki akış laminerdir: birbirinin üzerinden kayan düzgün katmanlar ve merkezi ortalamanın iki katı hızla giden parabolik bir hız profili. Yaklaşık 4.000’in üstünde türbülanslıdır: düzensiz burgaçlar akışkanı karıştırır ve profili düzleştirir. Arada ileri geri gider. 10 cm’lik bir boruda 1,27 m/s’deki suyun Re’si 127.000’dir, yani tam türbülanslı; 2 cm’lik bir boruda 0,3 m/s’deki balın (μ yaklaşık 10 Pa·s) Re’si yaklaşık 1’dir.
Sürtünme kayıpları
Viskozluk, akışın enerjisinin bir kısmını ısıya çevirir; yani P + ½ρv² + ρgz boru boyunca azalır. Darcy–Weisbach denklemi L uzunluğu boyunca kaybı verir:
ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²
- Laminer: f = 64 ÷ Re; bu Hagen–Poiseuille yasasıdır, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). Kayıp darlığın dördüncü kuvvetiyle artar: yarıçapı yarıya indirmek on altı kat basınç ister.
- Türbülanslı, düzgün boru: f ≈ 0,316 Re−1/4 (Blasius). 10 cm’lik su borusunda f = 0,017 ve kayıp metre başına yaklaşık 0,14 kPa’dır; 5 cm’lik boğazda metre başına yaklaşık 3,6 kPa.
2 cm’lik bir borudan 0,1 L/s akan bal her metrede yaklaşık 255 kPa kaybeder; kalın sıvıların büyük borular ve güçlü pompalar istemesinin nedeni budur.
Simülasyonu kullanmak
Akışkan akışı ve Bernoulli ilkesi simülatöründe debiyi, çapları, yüksekliği ve giriş basıncını ayarla ve A, B ve C kesitlerinin üstündeki sütunları oku. Denenecek şeyler:
- Boğaz çapını 10 cm’den 5 cm’ye yarıya indir: içindeki hız dört katına çıkar ve düşüm on altı kat büyür.
- Yüksekliği negatif yap: çıkış daha alçaktadır ve basıncı girişinkinden yüksektir.
- 10 L/s’de boğazı 2 cm’ye daralt: oradaki basıncın suyun buhar basıncının altına düşmesi gerekirdi ve simülasyon kavitasyon uyarısı verir.
- Sürtünmeyi işaretle ve bala geç: profil bir parabole dönüşür, Re yaklaşık 1 olur ve toplam enerjinin kesikli çizgisi hızla düşer.
Modelin varsayımları
- Kararlı, sıkışmaz akış. Debi zamanla değişmez ve yoğunluk, hava için bile sabittir.
- Kesit başına tek bir hız. Bernoulli denklemi ortalama hıza uygulanır; hız profili yalnızca noktaların nasıl hareket ettiğini değiştirir.
- Boru boyunca integrallenen düz boru formüllerinden gelen sürtünme: laminer akış için 64 ÷ Re, düzgün bir boruda türbülanslı akış için Blasius ve Re 2.300’den 4.000’e aralarında doğrusal bir geçiş.
- Yerel kayıp yok. Daralma ve genişlemenin kendisi fazladan hiçbir şey kaybetmez.
- Yaklaşık 20 °C’de sabit özellikler: su 998 kg/m³ ve 1,0 mPa·s; zeytinyağı 911 kg/m³ ve 81 mPa·s; gliserol 1.260 kg/m³ ve 1,41 Pa·s; bal 1.420 kg/m³ ve yaklaşık 10 Pa·s; hava 1,2 kg/m³ ve 18 µPa·s.
- Abartan sütunlar. Yükseklikler, ölçerler arasındaki farkları sığacak şekilde gererek gösterir; yani birbirleriyle ölçekli değildir. Etiketler gerçek basınçları verir.
Sınır durumları
- Boru kadar geniş boğaz: hızlanma yok, düşüm yok ve Venturi formülünün ölçecek bir şeyi yok.
- Borudan geniş boğaz: akışkan yavaşlar ve basınç yükselir; bu bir difüzörün ilkesidir.
- Çok düşük basınç: salt basınç buhar basıncının (20 °C’de su için 2,3 kPa) altına düşecek olursa sıvı kaynayıp baloncuklar oluşturur ve bunlar akış aşağısında şiddetle çöker. Bu kavitasyon gemi pervanelerini ve pompa çarklarını aşındırır.
- Negatif salt basınç, borudaki bir sıvı için olanaksızdır; istediğin akış o giriş basıncıyla gerçekleşemez.
Modelin doğru olmaktan çıktığı yerler
- Ani genişlemeler burgaçlara çok enerji kaptırır: Borda–Carnot kaybı ½ρ(v₁ − v₂)², örnekteki boğaz boruya aniden açılsa yaklaşık 7,3 kPa olurdu. Çizilen gibi yumuşak koniler bunun çoğunu geri kazanır; Venturi ölçerlerin uzun konik çıkışları olmasının nedeni budur.
- Sıkışabilir akış. Ses hızının yaklaşık üçte birinin üstünde (havada kabaca 100 m/s) gazlar belirgin biçimde sıkışır ve Bernoulli denklemi bu biçimiyle basınç değişimlerini olduğundan küçük gösterir; Mach 1’e yakın akış tıkanır.
- Pürüzlü borular ve çok yüksek Reynolds sayıları. Blasius düzgün borularda yalnızca yaklaşık Re 100.000’e kadar geçerlidir; gerçek borular Colebrook denklemini ya da duvar pürüzlülüğüyle bir Moody grafiğini ister.
- Kararsız akış. Bir vanayı hızla kapatmak, boru boyunca geriye kararlı değerlerin hepsinden çok daha büyük bir basınç dalgası gönderir (su darbesi).
- Newtonsal olmayan akışkanlar (kan, ketçap ve boya) viskozluklarını ne kadar hızlı kesmeye maruz kaldıklarına göre değiştirir ve balın viskozluğu sıcaklığına ve su içeriğine güçlü biçimde bağlıdır.
- Kanatlarda taşıma kuvveti. Bernoulli denklemi bir kanadın üstündeki daha düşük basıncı tanımlar, ama havanın orada neden daha hızlı gittiğini tek başına açıklamaz; “eşit geçiş süresi” açıklaması yanlıştır.
Hesaplayıcılar
Gerçek borularda debileri, hızları ve basınç düşümlerini Boru akışı hesaplayıcı ile hesapla, bir akışın laminer olup olmadığını Reynolds sayısı hesaplayıcı ile kontrol et ve litre, galon ve metreküp arasında Hacim dönüştürücü ile çevir. Boru akış debisi ve basınç kaybı nasıl hesaplanır hesapları elle ele alır.