Bölme modelleri
William Kermack ve Anderson McKendrick 1927’de bir salgını, herkesi birkaç gruba ayırıp insanların aralarında nasıl hareket ettiğini izleyerek tanımladı. SIR modelinde herkes duyarlıdır (S), bulaştırıcıdır (I) ya da iyileşmiş (R) ve bağışıktır. SEIR modeli, enfeksiyonu almış ama henüz bulaştıramayan insanlar için bir maruz kalmış grup (E) ekler. N kişilik bir kasaba için:
dS/dt = −βSI ÷ N, dE/dt = βSI ÷ N − σE, dI/dt = σE − γI, dR/dt = γI
- β, bulaştırıcı bir kişinin günde yaptığı bulaştırıcı temas sayısıdır. Kasabanın S ÷ N payını oluşturan duyarlı bir kişiyle temas enfeksiyonu aktarır.
- σ, 1 ÷ kuluçka (gizli) süresidir. SIR’de E yoktur ve yeni vakalar hemen bulaştırıcıdır.
- γ, 1 ÷ bulaştırıcılık süresidir.
R₀ ve etkin üreme sayısı
Temel üreme sayısı R₀, diğer herkes duyarlıyken bir vakanın ortalama kaç kişiye bulaştırdığıdır. Bu modellerde R₀ = β ÷ γ’dır: günlük temas çarpı bulaştırıcı gün sayısı. 1’in üstünde salgın büyüyebilir; altında her bulaş zinciri söner.
İnsanlar iyileşip bağışık oldukça her vaka bulaştıracak daha az kişi bulur. Etkin üreme sayısı R_t = R₀ × S ÷ N’dir. Salgın, R_t’nin 1’e düştüğü anda, yani kasabanın 1 ÷ R₀ payı hâlâ duyarlıyken tepe yapar ve sonra küçülür. Temasları azaltan önlemler R_t’yi daha da düşürür.
Toplum bağışıklığı
Bir salgın başlamadan önce nüfusun p payı bağışıksa R_t, R₀ × (1 − p) değerinden başlar. Bu 1’in altındaysa salgın büyüyemez; yani toplum bağışıklığı eşiği
p = 1 − 1 ÷ R₀
R₀ = 2 için nüfusun yarısı, R₀ = 3 için üçte ikisi ve R₀’ı yaklaşık 12 ila 18 olan kızamık için yaklaşık %92 ila %95. Bağışık insanlar bulaş zincirlerini kırarak diğerlerini korur.
Nihai büyüklük
Bir salgın toplum bağışıklığı eşiğinde durmaz: tepede birçok kişi hâlâ bulaştırıcıdır ve başkalarına bulaştırmaya devam eder; yani eşiği aşar. Hiç enfekte olmayan s payı, tamamen duyarlı bir kasaba için nihai büyüklük denklemini sağlar:
ln(1 ÷ s) = R₀ × (1 − s)
Cebirsel çözümü yoktur, ama adım adım çözülebilir. Cevap SIR ve SEIR için aynıdır: kuluçka süresi vakaların ne zaman geldiğini değiştirir, kaç tane olduğunu değiştirmez.
Çözümlü bir örnek
Simülasyon, 5 bulaştırıcı kişinin olduğu 1.000 kişilik bir kasabada R₀ = 3, 3 günlük kuluçka süresi ve 7 günlük bulaştırıcılık süresiyle başlar.
- γ = 1 ÷ 7 = günde 0,143; yani β = R₀ × γ = günde 0,429 bulaştırıcı temas.
- Toplum bağışıklığı eşiği: 1 − 1 ÷ 3 = 0,667, yani 667 kişi.
- Nihai büyüklük: s = 0,06 dene: ln(1 ÷ 0,06) = 2,81 ve 3 × 0,94 = 2,82, yeterince yakın. Kasabanın yaklaşık %94’ü hastalığı alır; %67’lik eşikten çok fazla.
- SIR’de erken büyüme: vakalar günde β − γ = 0,286 ile artar ve ln 2 ÷ 0,286 = 2,4 günde ikiye katlanır. Kuluçka süresi bunu yavaşlatır.
- Denklemlerde SIR salgını yaklaşık 21. günde tepe yapar; 3 günlük kuluçka süresiyle yaklaşık 36. günde.
Önce kasabanın yarısını aşıla ve R_t 1,5’ten başlar: kasabanın yaklaşık %30’u enfekte olur. Eşiğin üstünde, %70’ini aşıla ve salgın birkaç düzine vakadan sonra söner.
Eğriyi düzleştirmek
Mesafelenme β’yı azaltır ve karantina vakaların bir kısmının kimseye bulaştırmasını engeller. İkisi de etkin R₀’ı düşürür. Temaslar yarıya inince R₀ = 3, 1,5 olur: tepe çok daha alçak ve geçtir ve nihai büyüklük %94’ten yaklaşık %59’a düşer, çünkü salgın daha alçak eşiği daha az aşar. Tepeyi alçak tutmak, aynı anda ancak belirli sayıda kişiyi tedavi edebilen hastaneler için önemlidir.
Simülasyonu kullanmak
Salgın yayılımı simülatörü: SIR ve SEIR’de denenecek şeyler:
- Varsayılanları çalıştır ve düz çizgilerdeki kasabayı kesikli çizgilerdeki denklemlerle karşılaştır. R_t’nin 1’in altına düştüğü günü not et ve tepeyle karşılaştır.
- SIR için kuluçka süresini 0 yap: salgın daha erken ve daha hızlı gelir, ama nihai büyüklük aynıdır.
- %60, sonra %70 aşıla: R₀ = 3 için eşik arada bir yerdedir.
- Vakaların %50’sini karantinaya al ve %50 mesafelenmeyle karşılaştır: ikisi de R₀’ı yarıya indirir.
- R₀’ı 1,2 ve kasabayı tek vakalı 200 kişi yap: bazı çalıştırmalar hemen söner, bazıları yayılır.
Modelin varsayımları
- Düzgün karışım: her bulaştırıcı kişinin kasabadaki herkesle karşılaşma olasılığı eşittir; hane, okul ya da ağ yoktur.
- Herkes benzerdir: aynı duyarlılık, aynı temaslar, aynı bulaştırıcılık süresi.
- Üstel bekleme süreleri: maruz kalmış ya da bulaştırıcı her kişinin her gün bir sonraki duruma geçme olasılığı aynıdır; yani bazıları bir günde iyileşir, bazıları haftalar alır ve ortalama doğru çıkar.
- Kalıcı bağışıklık: iyileşmiş ve aşılanmış insanlar asla yeniden yakalanmaz ve aşılama kusursuzdur.
- Kapalı bir kasaba: tek bir salgın boyunca doğum, ölüm, seyahat ya da hastalıktan ölüm yok.
- Karantina, vakaların sabit bir kısmını bulaştırıcı oldukları anda yakalar ve iyileşene kadar tutar; mesafelenme her teması aynı oranda azaltır.
Sınır durumları
- 1’in altında R₀: her bulaş zinciri, ortalama 1 ÷ (1 − R₀) vakadan sonra söner: R₀ = 0,9 için on, R₀ = 0,5 için iki.
- 1’in hemen üstünde R₀: küçük bir kasabada, denklemler bir salgın öngörse de birçok salgın yayılmaya başlamadan rastlantıyla söner. Tek vaka ve R₀ = 1,2 ile çalıştırmaların çoğu erken söner.
- Eşiğin üstünde aşılama: R_t 1’in altından başlar; yani bazı aşısız kişiler hâlâ enfekte olabilse de salgın büyüyemez.
- Çok yüksek R₀: R₀ = 12 için bağışık olmayan neredeyse herkes enfekte olur.
- 0 kuluçka süresi: SEIR, SIR’e dönüşür.
- Herkes karantinada: kimse kimseye bulaştıramaz ve salgın ilk vakalarla biter.
Modelin doğru olmaktan çıktığı yerler
- Süper yayılma. Birçok hastalıkta birkaç vaka bulaşların çoğuna neden olur ve vakaların çoğu hiç bulaştırmaz. O zaman salgınlar rastlantıyla daha sık söner, ama hayatta kalanlar patlayabilir.
- Yapı. İnsanlar hane üyeleriyle ve iş arkadaşlarıyla tekrar tekrar karşılaşır. Kümelenmiş temaslar, rastgele karışıma göre yayılmayı yavaşlatır ve nihai büyüklüğü düşürür; yaş grupları da çok farklı biçimlerde karışır.
- Davranış değişir. İnsanlar vakalar artınca temaslarını azaltır, düşünce gevşer; yani R_t modelin basit yolunu izlemez.
- Bağışıklık azalır: grip, nezle ve COVID-19’da böyledir ve virüsler ondan kaçmak için evrimleşir; salgınlar o zaman dalgalar halinde döner ve bu bir SIRS modeli gerektirir.
- Bekleme süreleri üstel değildir. Gerçek kuluçka ve bulaştırıcılık süreleri ortalamalarının çevresinde kümelenir. Bu, zamanlamayı ve tepeyi değiştirir, ama nihai büyüklüğü değiştirmez.
- Belirtisiz ve belirti öncesi yayılma. Karantina yalnızca bulunan vakalarda işe yarar; belirtilerden önceki yayılma onu bu modelin öne sürdüğünden çok daha az etkili kılar.
- R₀ bir mikrobun sabit bir özelliği değildir. İnsanların nasıl yaşadığına ve karşılaştığına bağlıdır; yani tahminler yerler ve çalışmalar arasında değişir.
İlgili araçlar
Bir salgının erken yükselişi, Bakteri büyümesi simülatöründeki büyüme gibi üsteldir; Hücre ikilenme süresi hesaplayıcı da Hücre ikilenme süresi nasıl hesaplanırda olduğu gibi ikilenme süresini bulur. Yüzde hesaplayıcı vaka sayılarını nüfus payına çevirir. Av-avcı popülasyonu simülatörü tavşan yakalayan tilkiler için aynı kütle etkisi fikrini kullanır.