Fourier serisi: sinüslerden dalga kurmak

Fikir

T periyoduyla tekrarlayan her sinyal, frekansları temel frekans f = 1 ÷ T’nin tam katları olan sinüs ve kosinüs dalgalarının toplamı olarak yazılabilir:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt); ω = 2πf

Terimler harmoniklerdir: n = 1 temel, n = 2 iki kat frekanstaki ikinci harmonik ve böyle devam eder. Katsayılar, sinyali her sinüs ya da kosinüsle çarpıp bir periyot boyunca ortalayarak bulunur: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt. Joseph Fourier bu fikri 1807’de ısı akışı denklemini çözmek için ortaya attı; şimdi ses ve görüntü sıkıştırmanın, radyonun, spektroskopinin ve titreşen her şeyin çözümlemesinin temelinde yatar.

Üç standart dalga

−1 ile +1 arasında salınan ve tek fonksiyon olan (yalnızca sinüsler gereken) dalgalar için:

• Kare dalga: tek n için b_n = 4 ÷ (nπ), çift n için sıfır. Genlikler 1,273; 0,424; 0,255; 0,182; …
• Testere dalgası: her n için b_n = −2 ÷ (nπ) (artan rampa). Tüm harmonikler, 1 ÷ n ile azalır.
• Üçgen: tek n için b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²). 1 ÷ n² ile, çok daha hızlı azalır.

Bunların arkasındaki kural: atlamaları olan bir sinyalin katsayıları 1 ÷ n gibi azalır; sürekli olup köşeleri olanın 1 ÷ n² gibi; daha düzgün olanlar daha hızlı. Düzgün sinyaller az terim ister; keskin olanlar çok.

Çözümlü bir örnek

Kare dalganın sıfır olmayan ilk üç terimini, dalganın +1 olduğu orta noktada, ωt = π ÷ 2’de topla:

1. sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1.
2. 1,273 × 1 + 0,424 × (−1) + 0,255 × 1 = 1,104.

Beş terim 1,273 − 0,424 + 0,255 − 0,182 + 0,141 = 1,063 verir; kısmi toplamlar 1’in çevresinde salınır ve 1 ÷ n katsayılarının öngördüğü gibi yavaşça yaklaşır.

Gibbs olgusu

Bir atlamanın yakınında kısmi toplamlar aşar ve aşma, terim eklendikçe küçülmez. Her iki yanda atlamanın yaklaşık %8,95’ine yakınsar: −1’den +1’e atlayan bir kare dalga (2 birimlik atlama), kaç harmonik kullanılırsa kullanılsın yaklaşık 1,18’de tepe yapar. Dalgacık daralır ve atlamaya doğru sıkışır; yani bir periyot boyunca ortalanan hata sıfıra gider, ama en büyük hata gitmez. Bu pratikte önemlidir: yüksek frekansları kesmek (bir alçak geçiren filtre ya da JPEG sıkıştırma) keskin kenarların yanında çınlama yaratır.

Güç: Parseval teoremi

Bir periyot boyunca f²’nin ortalaması, harmoniklerin güçlerinin toplamına eşittir: ortalama(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (yalnızca sinüslü bir seri için). Kare dalgada ortalama(f²) = 1’dir ve tek başına temel bunun (4 ÷ π)² ÷ 2 = %81’ini tutar; ilk beş tek harmonik %96’sını tutar. Bir kare dalganın temel perdesinde ama parlak, vızıltılı bir renkte duyulmasının nedeni budur: üst harmonikler kalan yüzde birkaçı taşır.

Episikllar ve ayrık Fourier dönüşümü

Her c e^inωt terimi, |c| yarıçaplı bir dairede periyot başına n tur atan bir noktadır. Terimleri uç uca eklemek, her biri kendi hızında dönen bir daireler zinciridir: episikllar; Ptolemaios’un gezegenler için kullandığı aynı araç. Düzlemdeki kapalı bir dış çizgi için noktalarını karmaşık sayı olarak z = x + iy diye yaz, M tanesini eşit aralıklarla örnekle ve ayrık Fourier dönüşümünü al:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

Her c_k bir dairedir; M tanesinin hepsiyle zincir dış çizgiyi tam olarak yeniden çizer, yalnızca en büyük birkaçıyla da yumuşatılmış bir sürümünü çizer. Köşeler ve ince ayrıntı küçük, hızlı dairelerde yaşar.

Simülasyonu kullanmak

Fourier serisi simülatöründe bir dalga ve terim sayısı seç. Daireler zinciri döner, kalemin yüksekliği kısmi toplamdır ve eğri, yeşil renkli tam dalganın üzerinden sağa kayar; grafik tayftır. Denenecek şeyler:

• Kare dalga, 1 terim, sonra 2, 5, 20 ve 100: dalgacık daralırken atlamadaki aşma %9’a yakın kalır.
• 3 terimli üçgen: katsayıları 1 ÷ n² ile azaldığı için zaten çok yakın.
• Sesi işaretle ve kare dalgaya terim ekle: perde aynı kalırken ton, saf flüt benzeri bir sinüsten kamış gibi bir vızıltıya dönüşür.
• Kendi biçimini çiz, sonra terim sayısını 3 ya da 4’e indir: çizim, elipse benzer bir ilmeğe erir.

Modelin varsayımları

• Tam katsayılarla, genliği 1 olan ideal, kusursuz periyodik dalgalar; dalgalar için hiçbir şey ölçülmez ya da örneklenmez.
• Tek fonksiyon olacak şekilde seçilen üç dalga için yalnızca sinüslü seri; kaydırılmış bir dalga kosinüsler de isterdi.
• Dönüşümden önce dış çizgi boyunca eşit aralıklı 256 noktaya yeniden örneklenmiş biçimler; son nokta ilkine birleştirilerek kapatılır.
• Sesi yüksekliği normalize eden tarayıcının Web Audio periyodik dalgası üzerinden aynı katsayılardan gelen ses; ayarladığın perdede çalınır ve yaklaşık 20 kHz’in üstündeki harmonikler duyulmaz.

Sınır durumları

• Tek terim: her dalga, genliği b₁ olan saf bir sinüse dönüşür; kare dalganınki 4 ÷ π = 1,27’dir, dalganın kendisinden yüksek.
• Atlamanın tam üstünde kare dalganın her kısmi toplamı tam olarak 0’dır; yani iki yanın ortalaması.
• Kendisiyle kesişen ya da boşluğu olan bir çizim yine tek bir kapalı ilmek olarak ele alınır; dönüşüm, noktaların oluşturduğu yola uyar.
• Sesteki çok yüksek harmonikler: 880 Hz’de 100. harmonik 88 kHz olurdu; bu işitmenin çok üstünde ve ses donanımının çalabileceğinin de üstündedir; tarayıcı onları atar.

Doğru olmaktan çıktığı yerler

• Tekrarlamayan sinyallerin Fourier serisi yoktur; frekansların sürekli bir yayılımı olan Fourier dönüşümünü isterler. Kısa ses patlamalarının tayfı yayılmıştır; bir tıkırtının perdesi olmamasının nedeni budur.
• Örneklenmiş veri. Sonlu bir hızda ölçülen gerçek bir sinyal, o hızın yarısından yüksek frekansları temsil edemez (Nyquist sınırı); daha yüksek olanlar yanlış, daha alçak frekanslar olarak geri katlanır (örtüşme).
• Gerçek çalgılar ideal dalgalar değildir: harmonikleri tam olarak tam kat değildir (piyano telleri rijittir), bir nota boyunca değişirler ve karakterin çoğunu atak taşır; Çalgı akort aleti gerçek bir notayı okurken bunu gösterir.
• Patolojik fonksiyonlar. Fourier serisi bazı noktalarda ıraksayan sürekli fonksiyonlar vardır; çizilen ya da kaydedilen hiçbir şey için bu pratikte önemli olmaz.

İlgili araçlar

Duran dalga simülatörü bir telin ya da borunun tutabildiği harmonikleri gösterir; Ton üreteci de kulakla karşılaştırmak için her frekansta sinüs, kare, testere ve üçgen dalgaları çalar.