كيف يعمل المحلول المنظِّم: معادلة هندرسون-هاسلبالخ والسعة المنظِّمة وكيف تختار محلولًا منظِّمًا

ما المحلول المنظِّم

المحلول المنظِّم محلول من حمض ضعيف، HA، مع قاعدته المرافقة، A⁻: حمض الأسيتيك مع أسيتات الصوديوم، أو ثنائي هيدروجين الفوسفات مع هيدروجين الفوسفات. إن أُضيف حمض قوي، تأخذ القاعدة البروتونات (A⁻ + H⁺ → HA)؛ وإن أُضيفت قاعدة قوية، يعطيها الحمض (HA + OH⁻ → A⁻ + H₂O). وفي الحالتين يُستبدل الحمض أو القاعدة المضافة بإزاحة صغيرة في نسبة A⁻ إلى HA بدل تغيير كبير في H⁺ الحر، فلا يكاد الـ pH يتحرك. هكذا يُحافَظ على الدم عند pH ‏7.4، أساسًا بمنظِّم البيكربونات، وتُجرى معظم تجارب الكيمياء الحيوية في محلول منظِّم.

معادلة هندرسون-هاسلبالخ

pH = pKa + log₁₀([A⁻] ÷ [HA])

pKa = −log₁₀ Ka، وهو الـ pH الذي يكون عنده الحمض متفككًا إلى النصف.
كميات متساوية من الحمض والقاعدة: pH = pKa. القاعدة أكثر بعشر مرات: pKa + 1. الحمض أكثر بعشر مرات: pKa − 1.
لأن النسبة وحدها تظهر، لا يكاد تخفيف المحلول المنظِّم يغيّر الـ pH، وإن كان يُضعفه.

مثال محلول

100 mL من منظِّم الأسيتات فيها 5 mmol من حمض الأسيتيك و5 mmol من أسيتات الصوديوم (100 mM إجمالًا، ‏pKa ‏4.76)، فالـ pH ‏4.76. أضف 2 mL من HCl ‏1 M، أي 2 mmol من H⁺:

يحوّل H⁺ ‏2 mmol من الأسيتات إلى حمض أسيتيك: الأسيتات 5 − 2 = 3 mmol، وحمض الأسيتيك 5 + 2 = 7 mmol.
pH = 4.76 + log₁₀(3 ÷ 7) = 4.76 − 0.37 = 4.39.

والـ 2 mmol نفسها في 100 mL من الماء النقي تعطي 2 mmol في 102 mL، ‏[H⁺] = 0.0196 M، ‏pH = 1.71: انخفاض بأكثر من خمس وحدات مقابل 0.37 للمحلول المنظِّم.

السعة المنظِّمة

السعة المنظِّمة، β، هي كمية الحمض أو القاعدة القوية، بالمولات لكل لتر، اللازمة لتغيير الـ pH بوحدة واحدة:

β = 2.303 (Kw ÷ [H⁺] + [H⁺] + C_T Ka [H⁺] ÷ (Ka + [H⁺])²)

الحد الأخير، حد المنظِّم نفسه، أقصى ما يكون عند pH = pKa، حيث يساوي 2.303 × C_T ÷ 4 = 0.576 C_T. فالمحلول المنظِّم يعمل أفضل عند الـ pKa الخاص به، وبشكل معقول ضمن وحدة واحدة منه، وبتناسب مع تركيزه الكلي C_T: ‏100 mM يقاوم عشرة أضعاف 10 mM. وحين تنفد إحدى الصورتين، لا يبقى للمنظِّم ما يعطيه فيقفز الـ pH كما في الماء.

كيف تختار محلولًا منظِّمًا

الأسيتات، ‏pKa ‏4.76: ‏pH من 3.8 إلى 5.8.
البيكربونات، ‏pKa ‏6.35 (لـ CO₂ + H₂O ⇌ H⁺ + HCO₃⁻): الدم وأوساط زراعة الخلايا، حيث يُبقى CO₂ المذاب في توازن مع الهواء.
الفوسفات، ‏pKa ‏7.20 (التفكك الثاني): ‏pH من 6.2 إلى 8.2؛ ومحلول الفوسفات الملحي المنظِّم.
Tris، ‏pKa ‏8.07 عند 25 °C: البيولوجيا الجزيئية، ‏pH من 7 إلى 9؛ وينخفض الـ pKa الخاص به نحو 0.03 لكل °C، فمحلول Tris المحضّر في حرارة الغرفة أكثر قاعدية بنحو 0.6 وحدة في الغرفة الباردة.
الأمونيوم/الأمونيا، ‏pKa ‏9.25: ‏pH من 8.3 إلى 10.3.

اختر واحدًا الـ pKa الخاص به ضمن وحدة واحدة من الـ pH الذي تحتاجه، بتركيز يعطي سعة كافية للحمض أو القاعدة التي ستنتجها التجربة، ولا يتداخل معها (الفوسفات يرسّب الكالسيوم؛ وTris يتفاعل مع الألدهيدات).

كيف تستخدم المحاكاة

يضع محاكي المحاليل المنظِّمة محلولًا منظِّمًا والحجم نفسه من الماء جنبًا إلى جنب. كل ضغطة زر تضيف الكمية نفسها من HCl أو NaOH ‏1 M إلى الاثنين. يتلوّن السائلان كما مع الكاشف العام، وتتحول جزيئات المنظِّم من الأزرق (الصورة الحمضية) إلى الأصفر (الصورة القاعدية)، وتُظهر نقاط حمراء أو بنفسجية H₃O⁺ أو OH⁻ الحرّين، نقطة لكل 0.1 mM. أشياء تجربها:

أضف الحمض مللترًا بعد مللتر وانظر كيف يزحف pH المنظِّم بينما ينهار pH الماء؛ واستمر حتى تنفد الصورة القاعدية للمنظِّم فيسقط الـ pH الخاص به أيضًا.
اخفض التركيز إلى 10 mM: ينهار المنظِّم بعد عُشر الحمض.
ابدأ بنسبة 100 (لوغاريتم النسبة 2): يقاوم المنظِّم الحمض جيدًا لكنه لا يكاد يقاوم القاعدة، لأنه كله تقريبًا في الصورة القاعدية.
قارن تقدير هندرسون-هاسلبالخ بالـ pH الدقيق حين يقترب المنظِّم من النفاد.

ما يفترضه النموذج

تراكيز لا نشاطيات. في المحاليل الحقيقية تتفاعل الأيونات وتكون تراكيزها الفعالة (النشاطيات) أقل، بنسبة 10 إلى 25% عند قوة أيونية 0.1 M. وتنزاح قيم pKa المقيسة مع القوة الأيونية؛ فـ pKa الفوسفات ينخفض إلى نحو 6.8 في المحاليل المنظِّمة النموذجية.
زوج حمض-قاعدة واحد لكل منظِّم. يُعامل الفوسفات فقط كـ H₂PO₄⁻/HPO₄²⁻ والبيكربونات فقط كـ CO₂/HCO₃⁻؛ وتُستبعد تفككاتهما الأخرى (pKa ‏2.15 و12.35 للفوسفات، و10.3 للبيكربونات).
كأس مغلقة عند 25 °C، مع Kw = 10⁻¹⁴. وفي البيكربونات لا يتسرب CO₂ إلى الهواء.
توازن بروتونات دقيق. يُحل الـ pH من C_T[H⁺] ÷ ([H⁺] + Ka) + [H⁺] − Kw ÷ [H⁺] = (البروتونات المضافة) ÷ V، وهي صالحة عند أي pH، حتى حين ينفد المنظِّم.
تختلط الإضافات فورًا ويُضاف حجمها؛ والحجم الابتدائي 100 mL، والحمض والقاعدة 1 M.

الحالات الحدية

منظِّم نافد: حين تختفي صورة، تعطي هندرسون-هاسلبالخ لوغاريتم الصفر أو عدد سالب فلا تكون معرّفة؛ ويستمر الحل الدقيق ويُظهر الـ pH متبعًا فائض الحمض أو القاعدة القوية.
المحاليل المنظِّمة المخففة جدًا (بضعة mM) قرب pH ‏7: لا يعود H⁺ وOH⁻ الخاصّان بالماء مهملين، وتبتعد المعادلة البسيطة عن القيمة الدقيقة.
pH بعيد عن الـ pKa: بنسبة 100 أو 1/100 تكون سعة المنظِّم قليلة في أحد الاتجاهين وتكون هندرسون-هاسلبالخ أقل دقة.
الماء النقي يتغير نحو 5 وحدات pH بإضافة مللي مولارية، ولهذا لا تصلح المحاليل غير المنظَّمة للكيمياء الحيوية.

أين يتوقف النموذج عن الصلاحية

القوة الأيونية العالية. فوق نحو 0.1 M تلزم تصحيحات النشاطية (ديباي-هوكل، دافيز)، وقد تنحرف المحاليل المنظِّمة المركزة بأعشار من وحدة pH عن هذا النموذج.
درجة الحرارة. تتغير قيم pKa مع الحرارة، فـ Tris نحو −0.03 لكل °C والفوسفات أقل بكثير؛ ويستخدم النموذج قيمًا عند 25 °C.
الأنظمة المفتوحة. البيكربونات الملامسة للهواء تتبادل CO₂: يحافظ الدم على الـ pH الخاص به بزفر CO₂، وهو أثر أقوى بكثير مما تُظهره الكأس المغلقة.
الأنظمة متعددة البروتونات والخلائط. السترات، والفوسفات في كامل مداه، والسوائل الحيوية ذات المنظِّمات الكثيرة تحتاج كل قيم pKa الخاصة بها؛ والبروتينات نفسها تنظِّم بسلاسلها الجانبية.
مقاييس الـ pH الحقيقية تقيس النشاطية لا التركيز، ويجب معايرتها؛ وقد تختلف القراءة عن pH محسوب بـ 0.05 إلى 0.1 حتى حين يكون كل شيء سليمًا.

الحاسبات

حضّر محلولًا منظِّمًا عند pH مختار بـ حاسبة المحاليل المنظِّمة، واحسب pH محاليل الأحماض والقواعد بـ حاسبة pH، وشاهد معايرة كاملة، جزؤها المسطح هو منطقة التنظيم، في محاكي منحنيات المعايرة. ويتناول كيف تحسب الأس الهيدروجيني pH الأحماض القوية والضعيفة يدويًا.

كيف تعمل المحاليل المنظِّمة: معادلة هندرسون-هاسلبالخ والسعة المنظِّمة