النماذج الحجيرية
في 1927 وصف ويليام كيرماك وأندرسون ماكندريك وباءً بتوزيع الجميع على مجموعات قليلة وتتبع انتقال الناس من مجموعة إلى أخرى. في نموذج SIR يكون كل شخص قابلًا للعدوى (S)، أو مُعديًا (I)، أو متعافيًا (R) ومنيعًا. ويضيف نموذج SEIR مجموعة المكشوفين (E) لمن أُصيبوا لكنهم لا يستطيعون نقلها بعد. لبلدة من N شخص:
dS/dt = −βSI ÷ N, ; dE/dt = βSI ÷ N − σE, ; dI/dt = σE − γI, ; dR/dt = γI
- β عدد المخالطات المُعدية التي يجريها الشخص المُعدي في اليوم. والمخالطة مع شخص قابل للعدوى، أي جزء S ÷ N من البلدة، تنقل العدوى.
- σ هو 1 ÷ فترة الحضانة (الكمون). وفي SIR لا توجد E والحالات الجديدة معدية فورًا.
- γ هو 1 ÷ فترة العدوى.
R₀ وعدد التكاثر الفعّال
عدد التكاثر الأساسي R₀ هو عدد الأشخاص الذين تعديهم الحالة في المتوسط حين يكون كل الآخرين قابلين للعدوى. وفي هذين النموذجين R₀ = β ÷ γ: مخالطات في اليوم ضرب أيام العدوى. فوق 1 يمكن أن يكبر التفشي؛ وتحت 1 تنطفئ كل سلسلة عدوى.
مع تعافي الناس واكتسابهم المناعة، تجد كل حالة أشخاصًا أقل تعديهم. وعدد التكاثر الفعّال R_t = R₀ × S ÷ N. ويبلغ الوباء قمته لحظة ينخفض R_t إلى 1، حين يبقى جزء 1 ÷ R₀ من البلدة قابلًا للعدوى، ثم ينحسر. والتدابير التي تقلل المخالطات تخفض R_t أكثر.
مناعة القطيع
إن كان جزء p من السكان منيعًا قبل بدء التفشي، يبدأ R_t عند R₀ × (1 − p). ولا يمكن أن يكبر التفشي إن كان ذلك أقل من 1، فتكون عتبة مناعة القطيع
p = 1 − 1 ÷ R₀
نصف السكان لـ R₀ = 2، والثلثان لـ R₀ = 3، ونحو 92% إلى 95% للحصبة، التي يبلغ R₀ لها نحو 12 إلى 18. والمنيعون يحمون الآخرين بقطع سلاسل العدوى.
الحجم النهائي
لا يتوقف التفشي عند عتبة مناعة القطيع: ففي القمة لا يزال كثيرون معدين ويواصلون إعداء غيرهم، فيتجاوزها. والجزء s الذي لا يُصاب أبدًا يحقق معادلة الحجم النهائي
ln(1 ÷ s) = R₀ × (1 − s)
لبلدة قابلة للعدوى بالكامل. ليس لها حل جبري، لكن يمكن حلها خطوة خطوة. والنتيجة واحدة لـ SIR وSEIR: فترة الحضانة تغيّر متى تصل الحالات، لا عددها.
مثال محلول
تبدأ المحاكاة بـ R₀ = 3، وفترة حضانة 3 أيام، وفترة عدوى 7 أيام، في بلدة من 1,000 شخص منهم 5 معدون.
- γ = 1 ÷ 7 = 0.143 في اليوم، فـ β = R₀ × γ = 0.429 مخالطة معدية في اليوم.
- عتبة مناعة القطيع: 1 − 1 ÷ 3 = 0.667، أي 667 شخصًا.
- الحجم النهائي: جرّب s = 0.06: ln(1 ÷ 0.06) = 2.81 و3 × 0.94 = 2.82، قريبان بما يكفي. يُصاب نحو 94% من البلدة، أكثر بكثير من عتبة 67%.
- النمو الأولي في SIR: ترتفع الحالات بمعدل β − γ = 0.286 في اليوم وتتضاعف كل ln 2 ÷ 0.286 = 2.4 يوم. وفترة الحضانة تبطئه.
- في المعادلات، يبلغ تفشي SIR قمته نحو اليوم 21؛ ومع حضانة 3 أيام، نحو اليوم 36.
طعّم نصف البلدة مسبقًا فيبدأ R_t عند 1.5: يُصاب نحو 30% من البلدة. وطعّم 70%، فوق العتبة، فينطفئ التفشي بعد بضع عشرات من الحالات.
تسطيح المنحنى
يقلل التباعد β، ويمنع الحجر جزءًا من الحالات من إعداء أحد. وكلاهما يخفض R₀ الفعّال. مع تنصيف المخالطات يصبح R₀ = 3 1.5: القمة أدنى بكثير وأبعد، وينخفض الحجم النهائي من 94% إلى نحو 59%، لأن التفشي يتجاوز العتبة، الأدنى الآن، بقدر أقل. وإبقاء القمة منخفضة مهم للمستشفيات، التي لا تستطيع علاج إلا عدد معين من الناس في وقت واحد.
كيف تستخدم المحاكاة
في محاكي انتشار الأوبئة: SIR وSEIR يمكنك تجربة ما يلي:
- شغّل القيم الافتراضية وقارن البلدة، بخطوط متصلة، بالمعادلات، بخطوط متقطعة. لاحظ اليوم الذي ينخفض فيه R_t تحت 1 وقارنه بالقمة.
- اجعل فترة الحضانة 0 لـ SIR: يصل التفشي أبكر وأسرع، لكن الحجم النهائي هو نفسه.
- طعّم 60% ثم 70%: العتبة لـ R₀ = 3 بينهما.
- احجر 50% من الحالات وقارنه بتباعد 50%: كلاهما ينصّف R₀.
- اجعل R₀ 1.2 والبلدة 200 شخص مع حالة واحدة: بعض المحاكيات تنطفئ فورًا وبعضها ينتشر.
ما يفترضه النموذج
- خلط متجانس: لكل شخص معدٍ الاحتمال نفسه للقاء أي أحد في البلدة؛ لا بيوت ولا مدارس ولا شبكات.
- الجميع متماثلون: القابلية نفسها، والمخالطات نفسها، وفترة العدوى نفسها.
- أزمنة انتظار أُسية: لكل شخص مكشوف أو معدٍ الاحتمال نفسه للتقدم كل يوم، فيتعافى بعضهم في يوم ويستغرق آخرون أسابيع، بالمتوسط الصحيح.
- مناعة دائمة: المتعافون والمطعّمون لا يُصابون ثانية، واللقاح مثالي.
- بلدة مغلقة: بلا ولادات ولا وفيات ولا سفر ولا وفيات بالمرض، طوال تفشٍّ واحد.
- الحجر يلتقط جزءًا ثابتًا من الحالات لحظة تصبح معدية ويبقيها حتى تتعافى؛ والتباعد يقلل كل مخالطة بالنسبة نفسها.
الحالات الحدية
- R₀ تحت 1: تنطفئ كل سلسلة عدوى، في المتوسط بعد 1 ÷ (1 − R₀) حالة: عشر لـ R₀ = 0.9، واثنتان لـ R₀ = 0.5.
- R₀ فوق 1 بقليل: في بلدة صغيرة تنطفئ تفشيات كثيرة بالصدفة قبل أن تنطلق، وإن تنبأت المعادلات بوباء. مع حالة واحدة وR₀ = 1.2، تنطفئ معظم المحاكيات مبكرًا.
- تطعيم فوق العتبة: يبدأ R_t تحت 1، فلا يمكن أن يكبر التفشي، وإن كان بعض غير المطعّمين قد يُصابون.
- R₀ عالٍ جدًا: مع R₀ = 12 يُصاب تقريبًا كل من ليس منيعًا.
- فترة حضانة 0: يصبح SEIR هو SIR.
- الجميع في الحجر: لا يستطيع أحد إعداء أحد، وينتهي التفشي بالحالات الأولى.
أين يتوقف النموذج عن الصلاحية
- الناشرون الفائقون. في أمراض كثيرة تسبب حالات قليلة معظم العدوى ولا يُعدي معظم المصابين أحدًا. فتنطفئ التفشيات بالصدفة أكثر، لكن الناجية منها قد تنفجر.
- البنية. يرى الناس مرارًا من يعيشون ويعملون معهم. والمخالطات المتجمعة تبطئ الانتشار وتقلل الحجم النهائي مقارنةً بالخلط العشوائي، وتختلط الفئات العمرية بطرق مختلفة جدًا.
- السلوك يتغير. يقلل الناس مخالطاتهم حين ترتفع الحالات ويتراخون حين تنخفض، فلا يسلك R_t الطريق البسيط للنموذج.
- المناعة تضعف مع الإنفلونزا ونزلات البرد وكوفيد-19، والفيروسات تتطور للهروب منها؛ فتعود التفشيات في موجات، وهذا يتطلب نموذج SIRS.
- أزمنة الانتظار ليست أُسية. فترات الحضانة والعدوى الحقيقية تتجمع حول متوسطها. وهذا يغيّر توقيت القمة وارتفاعها، لا الحجم النهائي.
- العدوى بلا أعراض وقبل الأعراض. لا يؤثر الحجر إلا في الحالات المكتشفة؛ والعدوى قبل الأعراض تجعله أقل فعالية بكثير مما يوحي به هذا النموذج.
- R₀ ليس خاصية ثابتة لميكروب. يعتمد على طريقة عيش الناس وتواصلهم، فتختلف التقديرات بين الأماكن والدراسات.
أدوات ذات صلة
الصعود الأولي لوباء أُسي، كالنمو في محاكي النمو البكتيري؛ وتحسب حاسبة زمن تضاعف الخلايا زمن تضاعفه، كما في كيف تحسب زمن تضاعف الخلايا. وتحوّل حاسبة النسبة المئوية أعداد الحالات إلى نسب من السكان. ويستخدم محاكي عشائر المفترسات والفرائس فكرة فعل الكتلة نفسها لثعالب تصطاد أرانب.