شرح متسلسلات فورييه: بناء الموجات من الجيوب

الفكرة

أي إشارة تتكرر بدور T يمكن كتابتها كمجموع موجات جيب وجيب تمام تردداتها مضاعفات صحيحة للتردد الأساسي f = 1 ÷ T:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt)، مع ω = 2πf

الحدود هي التوافقيات: n = 1 الأساسي، وn = 2 التوافقي الثاني، بضعف التردد، وهكذا. وتُوجد المعاملات بضرب الإشارة في كل جيب أو جيب تمام وأخذ المتوسط على دور: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt. قدّم جوزيف فورييه الفكرة في 1807 لحل معادلة الحرارة؛ وهي اليوم وراء ضغط الصوت والصورة، والراديو، والمطيافية، وتحليل كل ما يهتز.

ثلاث موجات قياسية

لموجات تتأرجح بين −1 و+1 وهي فردية (لا تحتاج إلا الجيوب):

• الموجة المربعة: b_n = 4 ÷ (nπ) لـ n فردي، وصفر لـ n زوجي. السعات 1.273، 0.424، 0.255، 0.182، …
• الموجة المنشارية: b_n = −2 ÷ (nπ) لكل n (منحدر صاعد). كل التوافقيات، متناقصة مثل 1 ÷ n.
• الموجة المثلثية: b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²) لـ n فردي. متناقصة مثل 1 ÷ n²، أسرع بكثير.

القاعدة وراء ذلك: الإشارة ذات القفزات معاملاتها تتناقص مثل 1 ÷ n؛ والمتصلة ذات الزوايا مثل 1 ÷ n²؛ والأنعم أسرع من ذلك. الإشارات الناعمة تحتاج حدودًا قليلة؛ والحادة كثيرة.

مثال محلول

اجمع أول ثلاثة حدود غير صفرية للموجة المربعة عند نقطتها الوسطى، ωt = π ÷ 2، حيث تساوي الموجة +1:

1. sin(π ÷ 2) = 1، ‏sin(3π ÷ 2) = −1، ‏sin(5π ÷ 2) = 1.
2. 1.273 × 1 + 0.424 × (−1) + 0.255 × 1 = 1.104.

خمسة حدود تعطي 1.273 − 0.424 + 0.255 − 0.182 + 0.141 = 1.063؛ وتتأرجح المجاميع الجزئية حول 1 وتقترب ببطء، كما تتنبأ المعاملات 1 ÷ n.

ظاهرة جيبس

قرب القفزة تتجاوز المجاميع الجزئية الحد، ولا يتناقص التجاوز بإضافة الحدود. إنه يميل إلى نحو 8.95% من القفزة على كل جانب: الموجة المربعة التي تقفز من −1 إلى +1 (قفزة 2) تصل إلى نحو 1.18 مهما كثرت التوافقيات المستخدمة. ويضيق التموج وينضغط على القفزة، فيميل الخطأ المتوسط على دور إلى الصفر، لكن الخطأ الأقصى لا. وهذا مهم عمليًا: قطع الترددات العالية (مرشح تمرير منخفض أو ضغط JPEG) يُنتج تموجات بجوار الحواف الحادة.

القدرة: نظرية بارسفال

متوسط f² على دور يساوي مجموع قدرات التوافقيات: متوسط(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (لمتسلسلة جيوب فقط). للموجة المربعة، متوسط(f²) = 1، والأساسي وحده له (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81% منها؛ وأول خمسة توافقيات فردية 96%. ولهذا تبدو الموجة المربعة بطبقة أساسيها مع لون لامع وخشن: التوافقيات العالية تحمل النسبة الصغيرة الباقية.

أفلاك التدوير وتحويل فورييه المتقطع

كل حد c e^inωt نقطة تدور على دائرة نصف قطرها |c| فتدور n مرة في كل دور. وجمع الحدود واحدًا بعد الآخر سلسلة من الدوائر، كل منها تدور بسرعتها: أفلاك التدوير، الوسيلة نفسها التي استخدمها بطليموس للكواكب. ولمحيط مغلق في المستوى، اكتب نقاطه كأعداد مركبة z = x + iy، وخذ M منها متساوية التباعد واحسب تحويل فورييه المتقطع:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

كل c_k دائرة؛ ومع الـ M كلها تعيد السلسلة رسم المحيط بدقة، ومع الكبرى وحدها ترسم نسخة منعّمة. والزوايا والتفاصيل الدقيقة تسكن في الدوائر الصغيرة السريعة.

كيف تستخدم المحاكاة

في محاكي متسلسلات فورييه، اختر موجة وعدد الحدود. تدور سلسلة الدوائر، وارتفاع القلم هو المجموع الجزئي، ويتحرك المنحنى يمينًا فوق الموجة الدقيقة بالأخضر؛ والمخطط هو الطيف. أشياء تجربها:

• موجة مربعة بحد واحد، ثم 2 و5 و20 و100: يبقى التجاوز عند القفزة قرب 9% بينما يضيق التموج.
• مثلثية بـ 3 حدود: قريبة جدًا أصلًا، لأن معاملاتها تتناقص مثل 1 ÷ n².
• حدد الصوت وأضف حدودًا للموجة المربعة: لا تتغير الطبقة بينما ينتقل الجرس من جيب صافٍ كالناي إلى طنين كالقصبة.
• ارسم شكلك واخفض عدد الحدود إلى 3 أو 4: يذوب الرسم في حلقة تشبه القطع الناقص.

ما يفترضه النموذج

• موجات مثالية، دورية تمامًا، بسعة 1 ومعاملات دقيقة؛ ولا يُقاس شيء ولا يُعاين للموجات.
• متسلسلات جيوب فقط للموجات الثلاث، المختارة كدوال فردية؛ والموجة المزاحة ستحتاج جيوب تمام أيضًا.
• أشكال يُعاد أخذ عيناتها في 256 نقطة متساوية التباعد على طول المحيط قبل التحويل، وتُغلق بوصل النقطة الأخيرة بالأولى.
• الصوت بالمعاملات نفسها عبر الموجة الدورية في Web Audio بالمتصفح، التي تطبّع مستوى الصوت؛ ويُشغَّل بالطبقة التي تختارها، والتوافقيات فوق نحو 20 kHz لا تُسمع.

الحالات الحدية

• حد واحد: تصبح أي موجة جيبًا صافيًا سعته b₁؛ وللموجة المربعة 4 ÷ π = 1.27، أعلى من الموجة نفسها.
• عند القفزة تمامًا كل مجموع جزئي للموجة المربعة يساوي 0 بالضبط، متوسط الجانبين.
• رسم يتقاطع أو فيه فجوة يُعامل رغم ذلك كحلقة مغلقة واحدة؛ ويتلاءم التحويل مع المسار الذي تكوّنه النقاط.
• توافقيات عالية جدًا في الصوت: عند 880 Hz سيكون التوافقي المئة عند 88 kHz، أعلى بكثير من السمع ومما تستطيع أجهزة الصوت تشغيله؛ فيتجاهلها المتصفح.

أين يتوقف عن الصلاحية

• الإشارات غير المتكررة ليس لها متسلسلة فورييه؛ بل تحتاج تحويل فورييه، توزيعًا متصلًا للترددات. والأصوات القصيرة لها أطياف ممتدة، ولهذا لا طبقة للطقطقة.
• البيانات المعاينة. الإشارة المقيسة بمعدل محدود لا تستطيع تمثيل ترددات أعلى من نصف ذلك المعدل (حد نايكويست)؛ والأعلى تنطوي كترددات زائفة أدنى (التعرج).
• الآلات الحقيقية ليست موجات مثالية: توافقياتها ليست مضاعفات صحيحة تمامًا (أوتار البيانو صلبة)، وتتغير على مدى النغمة، والهجوم يعطي جزءًا كبيرًا من الطابع، كما يُظهر مضبط الآلات الموسيقية عند قراءة نغمة حقيقية.
• الدوال المرضية. توجد دوال متصلة تتباعد متسلسلات فورييه الخاصة بها عند بعض النقاط؛ ولأي شيء مرسوم أو مسجل، لا يهم ذلك أبدًا عمليًا.

أدوات ذات صلة

يُظهر محاكي الموجات الموقوفة التوافقيات التي يمكن أن تكون لوتر أو أنبوب، ويشغّل مولّد النغمات موجات جيبية ومربعة ومنشارية ومثلثية بأي تردد لمقارنتها بالأذن.