ফুরিয়ে ধারা বুঝে নিন: সাইন থেকে তরঙ্গ গড়া

ভাবনাটি

যে সংকেত T পর্যায়ে পুনরাবৃত্ত হয়, তাকেই এমন সাইন আর কোসাইন তরঙ্গের একটি যোগফল হিসেবে লেখা যায়, যাদের কম্পাঙ্ক গোড়ার কম্পাঙ্ক f = 1 ÷ T-র পূর্ণসংখ্যার গুণিতক:

f(t) = a₀ ÷ 2 + Σ (a_n cos nωt + b_n sin nωt), যেখানে ω = 2πf

পদগুলোই সুরাংশ: n = 1 হলো মূল সুর, n = 2 দ্বিতীয় সুরাংশ, যা দ্বিগুণ কম্পাঙ্কে, এভাবেই চলে। গুণাঙ্ক পাওয়া যায় সংকেতটিকে প্রতিটি সাইন বা কোসাইন দিয়ে গুণ করে একটি পর্যায় জুড়ে গড় নিয়ে: b_n = (2 ÷ T) ∫ f(t) sin(nωt) dt। জোসেফ ফুরিয়ে 1807-এ তাপ প্রবাহের সমীকরণ কষতে ভাবনাটি আনেন; এখন তা অডিও ও ছবির সংকোচন, বেতার, বর্ণালিবিদ্যা আর যা-ই কাঁপে তার বিশ্লেষণের নিচে বসে আছে।

তিনটি চলতি তরঙ্গ

যে তরঙ্গ −1 আর +1-র মাঝে দোলে আর অযুগ্ম (কেবল সাইনই দরকার):

• বর্গ তরঙ্গ: অযুগ্ম n-তে b_n = 4 ÷ (nπ), যুগ্ম n-তে শূন্য। বিস্তার 1.273, 0.424, 0.255, 0.182, …
• করাত: প্রতিটি n-তে b_n = −2 ÷ (nπ) (ওঠা ঢাল)। সব সুরাংশই আছে, আর তা 1 ÷ n হিসেবে নামে।
• ত্রিভুজ: অযুগ্ম n-তে b_n = 8(−1)^(n−1)/2 ÷ (n²π²)। 1 ÷ n² হিসেবে নামে, অনেক দ্রুত।

এগুলোর পিছনের নিয়ম: লাফওয়ালা একটি সংকেতের গুণাঙ্ক 1 ÷ n-র মতো নামে; যা অবিচ্ছিন্ন কিন্তু যার কোনা আছে, তার 1 ÷ n²-র মতো; আরও মসৃণ হলে আরও দ্রুত। মসৃণ সংকেতে অল্প পদই লাগে; তীক্ষ্ণগুলোতে অনেক।

একটি কষে দেখানো উদাহরণ

বর্গ তরঙ্গের শূন্য-নয় প্রথম তিনটি পদ তার মাঝবিন্দু ωt = π ÷ 2-তে যোগ করুন, যেখানে তরঙ্গটি +1:

1. sin(π ÷ 2) = 1, sin(3π ÷ 2) = −1, sin(5π ÷ 2) = 1।
2. 1.273 × 1 + 0.424 × (−1) + 0.255 × 1 = 1.104।

পাঁচটি পদ দেয় 1.273 − 0.424 + 0.255 − 0.182 + 0.141 = 1.063; আংশিক যোগফলগুলো 1-র চারপাশে দোলে আর ধীরে ধীরে কাছে আসে, যেমন 1 ÷ n গুণাঙ্ক বলে দেয়।

গিবস ঘটনা

একটি লাফের কাছে আংশিক যোগফল ছাপিয়ে যায়, আর পদ জুড়লেও ওই ছাপিয়ে যাওয়া ছোট হয় না। তা দুপাশেই লাফটির প্রায় 8.95%-তেই ঝোঁকে: −1 থেকে +1-এ (অর্থাৎ 2-র একটি লাফ) লাফানো একটি বর্গ তরঙ্গ যত সুরাংশই নেওয়া হোক প্রায় 1.18-তে চূড়ায় পৌঁছায়। ঢেউটি সরু হয়ে যায় আর লাফের দিকে চেপে আসে, তাই একটি পর্যায় জুড়ে গড় ভুল সত্যিই শূন্যে নেমে যায়, কিন্তু সবচেয়ে বড় ভুলটি যায় না। কাজের বেলায় তাতে এসে যায়: উঁচু কম্পাঙ্ক কেটে দেওয়া (একটি লো-পাস ছাঁকনি, কিংবা JPEG সংকোচন) তীক্ষ্ণ ধারের পাশে ঢং-ঢং বানায়।

ক্ষমতা: পার্সেভালের উপপাদ্য

একটি পর্যায় জুড়ে f²-র গড় সুরাংশগুলোর ক্ষমতার যোগফলের সমান: mean(f²) = Σ b_n² ÷ 2 (কেবল-সাইনের একটি ধারায়)। বর্গ তরঙ্গে mean(f²) = 1, আর কেবল মূল সুরেই তার (4 ÷ π)² ÷ 2 = 81% ধরে; প্রথম পাঁচটি অযুগ্ম সুরাংশে 96%। তাই একটি বর্গ তরঙ্গ তার মূল সুরের মতোই শোনায়, তবে একটি উজ্জ্বল, ভোঁ-ভোঁ রং নিয়ে: ওপরের সুরাংশগুলোই বাকি কয়েক শতাংশ বয়।

উপচক্র আর বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ে রূপান্তর

প্রতিটি পদ c e^inωt হলো একটি বিন্দু, যা |c| ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে প্রতি পর্যায়ে n বার ঘুরে চলে। পদগুলো মাথায়-লেজ জুড়ে দিলে তা বৃত্তের একটি শিকল, যার প্রত্যেকটি নিজের বেগে ঘোরে: উপচক্র, অর্থাৎ টলেমি গ্রহের জন্য যে কৌশলটিই ব্যবহার করেছিলেন। তলে একটি বন্ধ রূপরেখার জন্য তার বিন্দুগুলোকে জটিল সংখ্যা z = x + iy হিসেবে লিখুন, তার M-টি সমানভাবে নমুনা নিন, আর বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ে রূপান্তর নিন:

c_k = (1 ÷ M) Σ_j z_j e^−2πijk/M

প্রতিটি c_k একটি বৃত্ত; সবগুলো M নিয়ে শিকলটি রূপরেখাটি অবিকল আবার এঁকে দেয়, আর কেবল সবচেয়ে বড় কয়েকটি নিয়ে তা একটি মসৃণ রূপ আঁকে। কোনা আর সূক্ষ্ম খুঁটিনাটি থাকে ছোট, দ্রুত বৃত্তগুলোতে।

সিমুলেশনটি ব্যবহার করা

ফুরিয়ে ধারার সিমুলেটর-এ একটি তরঙ্গ আর পদের সংখ্যা বেছে নিন। বৃত্তের শিকলটি ঘোরে, কলমের উচ্চতাই আংশিক যোগফল, আর বাঁকটি সবুজে আঁকা নির্দিষ্ট তরঙ্গটির ওপর দিয়ে ডানে গড়িয়ে যায়; লেখচিত্রটি হলো বর্ণালি। দেখে নেওয়ার মতো কিছু:

• বর্গ তরঙ্গ, 1 পদ তারপর 2, 5, 20 আর 100: লাফে ছাপিয়ে যাওয়াটি 9%-র কাছেই থাকে আর ঢেউটি সরু হয়ে যায়।
• 3 পদে ত্রিভুজ: আগেই খুবই কাছাকাছি, কারণ তার গুণাঙ্ক 1 ÷ n² হিসেবে নামে।
• শব্দ টিক করে বর্গ তরঙ্গে পদ জুড়ুন: সুরের চড়াই একই থাকে আর সুরের রং একটি বিশুদ্ধ বাঁশির মতো সাইন থেকে একটি নলখাগড়ার ভোঁ-ভোঁ হয়ে ওঠে।
• নিজের একটি আকার আঁকুন, তারপর পদের সংখ্যা 3 কিংবা 4-এ নামিয়ে দিন: আঁকাটি একটি উপবৃত্তের মতো লুপে গলে যায়।

আদলটি যা ধরে নেয়

• 1 বিস্তারের আদর্শ, পুরোপুরি পর্যায়বৃত্ত তরঙ্গ, আর নির্দিষ্ট গুণাঙ্ক; তরঙ্গগুলোর জন্য কিছুই মাপা কিংবা নমুনা নেওয়া হয় না।
• তিনটি তরঙ্গে কেবল-সাইনের ধারা, যা অযুগ্ম ফাংশন হতেই বেছে নেওয়া; একটি সরানো তরঙ্গে কোসাইনও লাগত।
• রূপান্তরের আগে রূপরেখা ধরে 256টি সমানভাবে ছড়ানো বিন্দুতে আবার নমুনা নেওয়া আকার, যা শেষ বিন্দুটিকে প্রথমটির সঙ্গে জুড়ে বন্ধ করা।
• একই গুণাঙ্ক থেকে শব্দ, যা ব্রাউজারের Web Audio-র পর্যায়বৃত্ত তরঙ্গ দিয়ে, আর তা জোরটি সমান করে নেয়; তা আপনার বসানো চড়ায় বাজে, আর প্রায় 20 kHz-র ওপরের সুরাংশ শোনা যায় না।

কিনারার বেলা

• একটি পদ: প্রতিটি তরঙ্গই b₁ বিস্তারের একটি বিশুদ্ধ সাইন হয়ে যায়; বর্গ তরঙ্গেরটি 4 ÷ π = 1.27, অর্থাৎ তরঙ্গটি নিজের চেয়েই উঁচু।
• লাফটিতে নিজেই বর্গ তরঙ্গের প্রতিটি আংশিক যোগফলই ঠিক 0, অর্থাৎ দুপাশের গড়।
• যে আঁকা নিজেকে কাটে কিংবা যাতে একটি ফাঁক আছে তাও একটিই বন্ধ লুপ হিসেবেই ধরা হয়; বিন্দুগুলো যে পথ বানায় রূপান্তরটি তাতেই বসে যায়।
• শব্দে খুব উঁচু সুরাংশ: 880 Hz-এ 100তম সুরাংশ হত 88 kHz, যা শোনার অনেক ওপরে আর অডিওর যন্ত্রপাতি যা বাজাতে পারে তারও ওপরে; ব্রাউজার সেগুলো ফেলে দেয়।

তা কোথায় আর ঠিক থাকে না

• যে সংকেত পুনরাবৃত্ত হয় না তার কোনো ফুরিয়ে ধারাই নেই; তাতে ফুরিয়ে রূপান্তর দরকার, অর্থাৎ কম্পাঙ্কের একটি অবিচ্ছিন্ন ছড়ানো। শব্দের ছোট ঝাপটার বর্ণালি ছড়ানো, তাই একটি খটখটের কোনো চড়াই নেই।
• নমুনা নেওয়া তথ্য। একটি সসীম হারে মাপা একটি আসল সংকেত ওই হারের অর্ধেকের ওপরের কম্পাঙ্ক দেখাতে পারে না (নাইকুইস্ট সীমা); তার ওপরেরগুলো ভুয়ো নিচু কম্পাঙ্ক হয়ে ভাঁজ হয়ে ফিরে আসে (অ্যালিয়াসিং)।
• আসল বাদ্যযন্ত্র আদর্শ তরঙ্গ নয়: তাদের সুরাংশ ঠিক পূর্ণসংখ্যার গুণিতক নয় (পিয়ানোর তার শক্ত), একটি সুরের চলার সঙ্গে সেগুলো বদলায়, আর শুরুর ধাক্কাটিই চরিত্রের বেশিটা বয়, যেমন বাদ্যযন্ত্র বাঁধার যন্ত্র একটি আসল সুর পড়লে দেখায়।
• বেয়াড়া ফাংশন। এমন অবিচ্ছিন্ন ফাংশন আছে যাদের ফুরিয়ে ধারা কিছু বিন্দুতে অপসারী; যা-ই আঁকা কিংবা রেকর্ড করা, তাতে কাজের বেলায় এতে কখনোই এসে যায় না।

পাশের সরঞ্জাম

স্থির তরঙ্গের সিমুলেটর দেখায় একটি তার কিংবা নল কোন সুরাংশ ধরে রাখতে পারে, আর সুর বানান কানে মিলিয়ে দেখতে যেকোনো কম্পাঙ্কে সাইন, বর্গ, করাত আর ত্রিভুজ তরঙ্গ বাজায়।