বার্নুলির নীতি বুঝে নিন: ধারাবাহিকতা, ভেনচুরি মাপযন্ত্র আর পাইপের ঘর্ষণ

ধারাবাহিকতা: যা ঢোকে তা বেরোতেই হবে

একটি তরল প্রায় সংকুচিতই হয় না, তাই চুইয়ে পড়া নেই এমন একটি পাইপে প্রতি সেকেন্ডে প্রতিটি প্রস্থচ্ছেদ দিয়ে একই আয়তনই পার হতে হয়। আয়তনের প্রবাহের হার হলো প্রস্থচ্ছেদ গুণ গড় বেগ, তাই

Q = A₁ v₁ = A₂ v₂, যেখানে A = π D² ÷ 4

পাইপ যেখানে সরু হয় সেখানে তরল দ্রুত হয়ে যায়, ক্ষেত্রফলের অনুপাতে, যা ব্যাসের অনুপাতের বর্গ। ব্যাস অর্ধেক করলে বেগ চার গুণ হয়ে যায়। তাই একটি বাগানের পাইপে বুড়ো আঙুল চাপলে পানি আরও দূরে ছিটকে যায়।

বার্নুলির সমীকরণ

তরলটিকে দ্রুত করতে শক্তি লাগে, আর ঘর্ষণ ছাড়া একটি স্থির প্রবাহে তা আসে চাপ থেকে। দানিয়েল বার্নুলি 1738-এ দেখান যে একটি প্রবাহরেখা ধরে

P + ½ ρ v² + ρ g z = ধ্রুবক

• P হলো চাপ, অর্থাৎ পিছনের তরল সামনের তরলকে ঠেলে যে কাজ করে।
• ½ρv² হলো একক আয়তনে গতিশক্তি, যাকে কখনো গতিজ চাপ বলা হয়।
• ρgz হলো z উচ্চতায় একক আয়তনে স্থিতিশক্তি।

তাই তরল যেখানে দ্রুত চলে, কিংবা উঁচুতে ওঠে, তার চাপ সেখানে কম। তা প্রতি ঘনমিটার তরলে লেখা শক্তির সংরক্ষণই।

একটি কষে দেখানো উদাহরণ

পানি (ρ = 998 kg/m³) 10 L/s-এ একটি 10 cm পাইপের ভেতর দিয়ে বয়, যা একটি 5 cm গলায় সরু হয়ে যায়, তারপর 1 m ওপরে ওঠে। ঢোকার মুখে চাপ বায়ুমণ্ডলের চেয়ে 150 kPa বেশি।

1. ক্ষেত্রফল: A₁ = π × 0.1² ÷ 4 = 0.00785 m², A₂ = 0.00196 m²।
2. বেগ: v₁ = 0.010 ÷ 0.00785 = 1.27 m/s, v₂ = 0.010 ÷ 0.00196 = 5.09 m/s।
3. গলায় চাপ: ½ × 998 × (5.09² − 1.27²) = 12.1 kPa কম, তাই 137.9 kPa।
4. ওঠার পরে আবার 10 cm পাইপে: বেগ আবার 1.27 m/s, তাই ঢোকার মুখ থেকে একমাত্র বদল ρgh = 998 × 9.81 × 1 = 9.8 kPa, আর বাকি থাকে 140.2 kPa।

গলার পরে চাপ ফিরে আসে: কিছুই হারায় না (ঘর্ষণ ছাড়া), তা কেবল বেগে বদলে গিয়ে আবার ফিরে এসেছিল।

ভেনচুরি মাপযন্ত্র

উদাহরণটি উল্টে দিলে: পাইপ আর গলার মাঝে চাপের পতন মাপুন, আর ধারাবাহিকতা ও বার্নুলি মিলে প্রবাহটি দেয়,

Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))

ΔP = 12.1 kPa নিয়ে তা 10 L/s-ই ফিরিয়ে দেয়। ভেনচুরি মাপযন্ত্র পানির মূল লাইন আর শিল্পের পাইপে কোনো নড়া অংশ ছাড়াই প্রবাহ মাপে; আসলগুলো ঘর্ষণ ধরতে প্রায় 0.98-র একটি নিষ্কাশনের গুণক দিয়ে গুণ করে। একই নীতি কার্বুরেটর, রং ছেটানোর যন্ত্র আর হাসপাতালে বাতাসের সঙ্গে অক্সিজেন মেশানো ভেনচুরি মুখোশও চালায়।

সান্দ্রতা আর রেনল্ডস সংখ্যা

আসল তরল সান্দ্র: তা দেয়ালে সেঁটে যায়, তাই ওখানে বেগ শূন্য আর মাঝখানে সবচেয়ে বেশি। প্রবাহ কোন পথে চলে তা নির্ভর করে রেনল্ডস সংখ্যার ওপরে,

Re = ρ v D ÷ μ

যেখানে μ হলো সান্দ্রতা। প্রায় 2,300-র নিচে একটি পাইপে প্রবাহ স্তরীয়: মসৃণ স্তর একে অন্যের পাশ দিয়ে পিছলে যায়, আর বেগের ছাঁদটি পরাবৃত্তীয়, যার মাঝখানটি গড়ের দ্বিগুণ বেগে চলে। প্রায় 4,000-র ওপরে তা অশান্ত: এলোমেলো ঘূর্ণি তরলটি মিশিয়ে দেয় আর ছাঁদটি চ্যাপ্টা করে দেয়। মাঝে তা এদিক-ওদিক উল্টে যায়। একটি 10 cm পাইপে 1.27 m/s-এ পানির Re = 127,000, অর্থাৎ পাকাপাকিভাবে অশান্ত; একটি 2 cm পাইপে 0.3 m/s-এ মধু (μ প্রায় 10 Pa·s)-র Re প্রায় 1।

ঘর্ষণের ক্ষতি

সান্দ্রতা প্রবাহের কিছু শক্তি তাপে বদলে দেয়, তাই পাইপ ধরে P + ½ρv² + ρgz নামে। ডার্সি–ওয়াইসবাখ সমীকরণ L দৈর্ঘ্যে ক্ষতিটি দেয়:

ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²

• স্তরীয়: f = 64 ÷ Re, যা হাগেন–পোয়াজ্যুইয়ের সূত্র, ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴)। ক্ষতি সরুভাবের চতুর্থ ঘাতের সঙ্গে বাড়ে: ব্যাসার্ধ অর্ধেক করলে ষোলো গুণ চাপ লাগে।
• অশান্ত, মসৃণ পাইপ: f ≈ 0.316 Re^−1/4 (ব্লাসিয়ুস)। 10 cm-র পানির পাইপে f = 0.017 আর ক্ষতি প্রতি মিটারে প্রায় 0.14 kPa; 5 cm গলায় প্রতি মিটারে প্রায় 3.6 kPa।

একটি 2 cm পাইপের ভেতর দিয়ে 0.1 L/s-এ মধু প্রতি মিটারে প্রায় 255 kPa হারায়, আর তাই ঘন তরলে বড় পাইপ আর জোরালো পাম্প লাগে।

সিমুলেশনটি ব্যবহার করা

তরল প্রবাহ আর বার্নুলির নীতির সিমুলেটর-এ প্রবাহের হার, ব্যাস, উচ্চতা আর ঢোকার মুখের চাপ বসিয়ে A, B আর C অংশের ওপরের স্তম্ভগুলো পড়ে নিন। দেখে নেওয়ার মতো কিছু:

• গলার ব্যাস 10 cm থেকে 5 cm-এ অর্ধেক করুন: তাতে বেগ চার গুণ হয়ে যায় আর পতন ষোলো গুণ বাড়ে।
• উচ্চতা ঋণাত্মক বসান: বেরোনোর মুখটি নিচে, আর তার চাপ ঢোকার মুখেরটির চেয়ে বেশি।
• 10 L/s-এ গলাটি 2 cm-এ সরু করুন: ওখানে চাপকে পানির বাষ্পচাপের নিচে নামতে হত, আর সিমুলেশনটি ক্যাভিটেশনের সতর্কতা দেয়।
• ঘর্ষণ টিক করে মধুতে বদলে নিন: ছাঁদটি একটি পরাবৃত্ত হয়ে যায়, Re প্রায় 1, আর মোট শক্তির ভাঙা রেখাটি খাড়াভাবে নামে।

আদলটি যা ধরে নেয়

• স্থির, অসংকোচ্য প্রবাহ। প্রবাহের হার সময়ের সঙ্গে বদলায় না আর ঘনত্ব ধ্রুব, বাতাসেও।
• প্রতি অংশে একটি বেগ। বার্নুলির সমীকরণ গড় বেগেই বসানো; বেগের ছাঁদটি কেবল ফুটকিগুলো কীভাবে চলে তাই বদলায়।
• সোজা-পাইপের সূত্র থেকে ঘর্ষণ, যা পাইপ ধরে যোগ করা: স্তরীয় প্রবাহে 64 ÷ Re, একটি মসৃণ পাইপে অশান্ত প্রবাহে ব্লাসিয়ুস, আর Re 2,300 থেকে 4,000-র মাঝে তাদের মধ্যে একটি সরলরেখা।
• কোনো গৌণ ক্ষতি নেই। সরু হওয়া আর ছড়িয়ে পড়াটি নিজেরা বাড়তি কিছুই হারায় না।
• প্রায় 20 °C-এ বাঁধা ধর্ম: পানি 998 kg/m³ আর 1.0 mPa·s, জলপাই তেল 911 kg/m³ আর 81 mPa·s, গ্লিসারল 1,260 kg/m³ আর 1.41 Pa·s, মধু 1,420 kg/m³ আর প্রায় 10 Pa·s, বাতাস 1.2 kg/m³ আর 18 µPa·s।
• যে স্তম্ভ বাড়িয়ে দেখায়। উচ্চতাগুলো মাপযন্ত্রের মাঝের তফাত আঁটানোর জন্য টেনে দেখায়, তাই সেগুলো একে অন্যের সঙ্গে মাপে আঁকা নয়; নামগুলোই আসল চাপ দেয়।

কিনারার বেলা

• পাইপের সমান চওড়া গলা: কোনো দ্রুত হওয়া নেই, কোনো পতন নেই, আর ভেনচুরির সূত্রের মাপার কিছুই নেই।
• পাইপের চেয়ে চওড়া গলা: তরল ধীর হয়ে যায় আর চাপ বাড়ে, যা একটি ডিফিউজারের নীতি।
• খুব কম চাপ: পরম চাপ বাষ্পচাপের (20 °C-এ পানিতে 2.3 kPa) নিচে নেমে যেত হলে তরলটি ফুটে বুদবুদ হয়ে যায়, যা ভাটির দিকে প্রবলভাবে ভেঙে পড়ে। এই ক্যাভিটেশন জাহাজের প্রপেলার আর পাম্পের চাকা ক্ষয়ে দেয়।
• একটি পাইপে তরলে ঋণাত্মক পরম চাপ অসম্ভব; ওই ঢোকার মুখের চাপে আপনার চাওয়া প্রবাহটি হতেই পারে না।

আদলটি কোথায় আর ঠিক থাকে না

• হঠাৎ ছড়িয়ে পড়ায় ঘূর্ণিতে অনেক শক্তি হারায়: বোর্দা–কার্নোর ক্ষতি, ½ρ(v₁ − v₂)², উদাহরণের গলাটি হঠাৎ পাইপে খুলে পড়লে প্রায় 7.3 kPa। যে নরম শঙ্কু আঁকা আছে তেমনগুলো তার বেশিটাই ফিরিয়ে আনে, আর তাই ভেনচুরি মাপযন্ত্রের বেরোনোর মুখ লম্বা করে ছাঁটা।
• সংকোচ্য প্রবাহ। শব্দের গতির প্রায় এক-তৃতীয়াংশের ওপরে (বাতাসে মোটামুটি 100 m/s) গ্যাস চোখে পড়ার মতোই সংকুচিত হয় আর এই রূপে বার্নুলির সমীকরণ চাপের বদল কম দেখায়; মাখ 1-র কাছে প্রবাহ আটকে যায়।
• খসখসে পাইপ আর খুব উঁচু রেনল্ডস সংখ্যা। ব্লাসিয়ুস মসৃণ পাইপে কেবল প্রায় Re 100,000 পর্যন্তই খাটে; আসল পাইপে দেয়ালের খসখসেভাব নিয়ে কোলব্রুক সমীকরণ কিংবা একটি মুডি ছক দরকার।
• অস্থির প্রবাহ। একটি ভালভ দ্রুত বন্ধ করলে পাইপ ধরে একটি চাপের তরঙ্গ ফিরে যায় (পানির হাতুড়ি), যা যেকোনো স্থির মানের চেয়ে অনেক বড়।
• নন-নিউটনীয় তরল, যেমন রক্ত, কেচাপ আর রং, কত দ্রুত তাদের কাটা হচ্ছে তার সঙ্গে সান্দ্রতা বদলায়, আর মধুর সান্দ্রতা তার তাপমাত্রা আর পানির পরিমাণের ওপরে জোরালোভাবে নির্ভর করে।
• পাখায় উত্তোলন। বার্নুলির সমীকরণ একটি পাখার ওপরে কম চাপটি বর্ণনা করে, কিন্তু ওখানে বাতাস দ্রুত চলে কেন তা নিজে নিজে বোঝায় না; “সমান সময়ে পেরোনো”-র ব্যাখ্যাটি ভুল।

হিসাব

পাইপের প্রবাহের হিসাব দিয়ে আসল পাইপে প্রবাহের হার, বেগ আর চাপের পতন বের করুন, রেনল্ডস সংখ্যার হিসাব দিয়ে একটি প্রবাহ স্তরীয় কি না দেখে নিন, আর আয়তনের রূপান্তরকারী দিয়ে লিটার, গ্যালন আর ঘনমিটারের মধ্যে বদলে নিন। পাইপের প্রবাহের হার আর চাপের পতন কীভাবে বের করবেন হিসাবগুলো হাতে কষে দেখায়।