বোর্ডটি
একটি গলটন বোর্ড, কিংবা শিমের কল, হলো একটি বোর্ড, যাতে বাক্সের একটি সারির ওপরে এগিয়ে-পিছিয়ে বসানো সারিতে খুঁটি আছে। ওপরে ছেড়ে দেওয়া একটি বল প্রতিটি সারিতেই একটি খুঁটিতে লাগে আর বাঁয়ে কিংবা ডানে যায়, আর তা কতবার ডানে গেছে তার সঙ্গে মেলা বাক্সটিতে পড়ে। ফ্রান্সিস গলটন 1870-র দশকে একটি বানিয়েছিলেন দেখাতে যে, আকস্মিকতা থেকেই শৃঙ্খলা জন্মায়: প্রতিটি বলের পথ বলা যায় না, কিন্তু হাজার হাজার বল সবসময়ই একই ঘণ্টা-আকারের ঢিপি গড়ে তোলে।
দ্বিপদ সূত্র
n সারি আর প্রতিটি খুঁটিতে ডানে যাওয়ার p সুযোগ নিয়ে k বাক্সে (n-র মধ্যে k বার ডানে) পড়ার সুযোগ হলো
P(k) = C(n, k) pk (1 − p)n − k
C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) গোনে যে পথগুলো k বাক্সে শেষ হয়, আর pk(1 − p)n − k হলো তাদের যেকোনো একটির সুযোগ।
কষে দেখানো উদাহরণ: 12 সারি, p = 0.5। মাঝের বাক্স, k = 6, এর পথ C(12, 6) = 924টি, আর প্রত্যেকটির সুযোগ 0.512 = 1 ÷ 4,096, তাই P(6) = 924 ÷ 4,096 = 22.6%। একটি প্রান্তের বাক্সে একটিই পথ: 1 ÷ 4,096 = 0.024%। 1,000 বলে মাঝখানে প্রায় 226টি আশা করুন আর দুই প্রান্তে একটিও নয়, কিংবা হয়তো একটি।
গড় আর পরিমিত ব্যবধান
μ = n p আর σ = √(n p (1 − p))
p = 0.5-এ 12 সারিতে μ = 6 আর σ = √3 = 1.73। একটি স্বাভাবিক বিন্যাসে 68% গড়ের এক σ-র ভেতরে আর 95% দুইয়ের ভেতরে পড়ে; এই বোর্ডে 5 থেকে 7 বাক্সে বলের 61% ধরে, কারণ বাক্সগুলো পূর্ণসংখ্যা আর এক σ 4 আর 8 বাক্স পর্যন্ত ঠিক পৌঁছায় না। σ বাড়ে কেবল √n হিসেবে, তাই চার গুণ সারির একটি বোর্ডে ঢিপিটি দ্বিগুণ চওড়া, কিন্তু বোর্ডের চওড়ার তুলনায় তা অর্ধেক চওড়া।
স্বাভাবিক আন্দাজ
বড় n-এ দ্বিপদ বিন্যাস একই গড় আর পরিমিত ব্যবধানের স্বাভাবিক বাঁকের কাছে চলে আসে, f(x) = e−(x − μ)²/2σ² ÷ (σ√(2π))। একটি চেনা নিয়ম হলো, n p আর n (1 − p) দুটিই অন্তত 5 হলে তা খাটে (কিছু বই 10 বলে)। p = 0.1 আর 12 সারিতে n p = 1.2: ঢিপিটি বাঁ ধারের গায়ে জমে যায় আর বেঁকে পড়ে (বঙ্কিমতা (1 − 2p) ÷ σ = 0.77), আর প্রতিসম ঘণ্টাটি তার সঙ্গে খারাপভাবেই মেলে।
কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য
প্রতিটি ধাক্কা একটি ছোট এলোমেলো ধাপ জোড়ে, আর বাক্সটি তাদের যোগফল। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য বলে, অনেক স্বাধীন এলোমেলো পরিমাণের যোগফল একটি স্বাভাবিক বিন্যাসের দিকে এগোয়, প্রত্যেকটির নিজের বিন্যাস যা-ই হোক, যদি তার ছড়ানোটি সসীম হয়। ছক্কা তা ভালোভাবেই দেখায়। একটি ছক্কা চ্যাপ্টা: প্রতিটি পিঠ 6-এ 1। দুটি ছক্কা 7-এ চূড়া-ওয়ালা একটি ত্রিভুজ বানায়। n ছক্কার যোগফলের গড় 3.5 n আর ভেদাঙ্ক 35 n ÷ 12, আর পাঁচ-ছয়টি ছক্কাতেই তা একটি ঘণ্টা থেকে আলাদা করা শক্ত হয়ে যায়। তাই উচ্চতা, মাপের ভুল আর পরীক্ষার নম্বর, যার প্রত্যেকটি অনেক ছোট ছোট প্রভাবের যোগফল, এত প্রায়ই স্বাভাবিক দেখায়।
একটি ঢিপি পরখ করা: কাই-বর্গ
একটি ঢিপি দ্বিপদ বিন্যাসের সঙ্গে মেলে, নাকি বোর্ডটি পক্ষপাতী? দেখা গোনা O-কে আশা করা গোনা E = N × P(k)-র সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন
χ2 = Σ (O − E)2 ÷ E
প্রতিটি বাক্সে অন্তত 5টি বল আশা করা পর্যন্ত পাশের বাক্স মিশিয়ে নিন, তারপর বাক্স − 1 স্বাধীনতার মাত্রা নিন। P-মান হলো বোর্ডটি সুবিচারী হলে এত বড় একটি χ2 পাওয়ার সুযোগ। কষে দেখানো উদাহরণ: p = 0.5-এ একটি 4-সারির বোর্ডে 200টি বলে আশা করা হয় 12.5, 50, 75, 50, 12.5। দেখা গেল 15, 44, 80, 47, 14: χ2 = 0.50 + 0.72 + 0.33 + 0.18 + 0.18 = 1.91, 4 স্বাধীনতার মাত্রায়, p = 0.75, যা পুরোপুরিই আকস্মিকতার সঙ্গে মেলে।
সিমুলেশনটি ব্যবহার করা
গলটন বোর্ডের সিমুলেটর একটানা বল ছাড়ে। পটিগুলো প্রতিটি বাক্সের ভাগ দেখায়, ভাঙা রেখাটি নির্দিষ্ট বিন্যাস আর সবুজ বাঁকটি স্বাভাবিকটি। ছবির নিচে আছে নমুনার গড় আর পরিমিত ব্যবধান, তাদের পাশে আশা করাগুলো, আর কাই-বর্গের পরীক্ষা। দেখে নেওয়ার মতো কিছু:
- সময় ধরে লেখচিত্রে নমুনার গড়টি দেখুন: তা প্রথমে এদিক-ওদিক ঘোরে আর μ-র দিকে থিতু হয়, আর তার ভুল σ ÷ √N হিসেবে ছোট হয়ে যায়।
- 6 সারিতে p 0.15-এ বসান: ঢিপিটি বেঁকে পড়ে আর স্বাভাবিক বাঁকটি তা ধরতে পারে না। সারি 20-এ বাড়িয়ে দিন আর তা আবার একটি ঘণ্টা হয়ে যায়।
- ছক্কায় বদলে নিয়ে n 1 থেকে 6 পর্যন্ত ধাপে ধাপে বাড়ান: চ্যাপ্টা, ত্রিভুজ, তারপর ঘণ্টা।
- তা চলতে দিয়ে P-মানটি খেয়াল করুন: একটি সুবিচারী বোর্ডে তা 0 আর 1-র মাঝে যেকোনো জায়গায় যায় আর কুড়িতে প্রায় একবার 0.05-র নিচে নেমে পড়ে।
আদলটি যা ধরে নেয়
- একই p-র স্বাধীন ধাক্কা। প্রতিটি খুঁটিই একটি নতুন মুদ্রা ছোড়া, আগেরটিতে অছোঁয়া। সেটিই একটি দ্বিপদ ঘটনার সংজ্ঞা।
- প্রতি সারিতে ঠিক একটি ধাক্কা। বলটি সবসময়ই পরের খুঁটিতে লাগে আর খুঁটির ফাঁকের অর্ধেক বাঁয়ে বা ডানে সরে; তা কখনোই একটি সারি ছেড়ে যায় না কিংবা দুবার ধাক্কা খায় না।
- বল একে অন্যের সঙ্গে ক্রিয়া করে না। তারা একে অন্যের ভেতর দিয়ে পার হয়ে যায় আর কখনোই আটকে যায় না বা অন্যদের ঠেলে সরায় না।
- ছক্কার দশায় সুবিচারী ছক্কা, প্রতিটি পিঠ ঠিক 6-এ 1।
- আকস্মিকতার জায়গা নেয় একটি ছদ্ম-এলোমেলো সংখ্যা বানানোর যন্ত্র। যেকোনো আসল বোর্ডের যতটা দরকার তার চেয়ে তা অনেক বেশি সমান।
কিনারার বেলা
- একটি সারি হলো একটিমাত্র মুদ্রা ছোড়া: দুটি বাক্স, যাদের ভাগ 1 − p আর p, আর ঘণ্টার বাঁকের কোনো মানেই নেই।
- p 0 কিংবা 1-র কাছে: প্রায় প্রতিটি বলই একই ধারের পথ নেয়; বিন্যাসটি বেঁকে পড়ে আর n p গড়ের একটি পোয়াসঁ বিন্যাসের কাছাকাছি হয়ে যায়।
- অল্প কয়েকটি বল: কয়েক ডজনের কমে ঢিপিটি এলোমেলো আর কাই-বর্গের পরীক্ষায় প্রতি বাক্সে চালানোর মতো যথেষ্ট বলই থাকে না; তা 5 আশা করা অন্তত দুটি বাক্সের জন্য অপেক্ষা করে।
- একটি ছক্কা কোনো চূড়া ছাড়াই একটি চ্যাপ্টা বিন্যাস দেয়, অর্থাৎ একটি ঘণ্টার ঠিক উল্টো, আর কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য এই শুরুর বিন্দুটি থেকেই কাজ করে।
আদলটি কোথায় আর ঠিক থাকে না
- আসল গলটন বোর্ড আদর্শ নয়। একটি বলের ভরবেগ আছে: ডানে যাওয়ার পরে তার আবার ডানে যাওয়ার সম্ভাবনা একটু বেশি, তাই ধাক্কাগুলো সহসম্পর্কিত আর ঢিপিটি দ্বিপদ বিন্যাসের চেয়ে চওড়া হয়ে বেরোয়। বল খুঁটি ছেড়েও যেতে পারে কিংবা আটকে যেতে পারে।
- সবই একটি যোগফল নয়। যে রাশি অনেক গুণক গুণ করে আসে, যেমন আয় কিংবা কণার মাপ, তা লগস্বাভাবিক, অর্থাৎ একটি লম্বা ল্যাজ নিয়ে বেঁকে পড়া; কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য তাদের লগারিদমে খাটে।
- ভারী ল্যাজ। আলাদা আলাদা ধাপের কোনো সসীম ভেদাঙ্ক না থাকলে (ধরুন একটি কশি বিন্যাস) তাদের যোগফল কখনোই স্বাভাবিক হয় না।
- নির্ভরতা। শেয়ারের দামের নড়াচড়া, মহামারি আর অন্য যে ঘটনায় একটি ঘটনা পরেরটি বদলে দেয় তা দ্বিপদ বিন্যাস মানে না; সেগুলোকে স্বাধীন মুদ্রা ছোড়া হিসেবে ধরলে কিনারাগুলো কম দেখায়।
- স্বাভাবিক বাঁক অবিচ্ছিন্ন আর সীমাহীন, কিন্তু বাক্স 0 থেকে n পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা; ল্যাজের অনেক দূরে তা 0-র নিচে কিংবা n-র ওপরে ছোট কিন্তু অসম্ভব সুযোগ দেয়।
পাশের সরঞ্জাম
পরিমিত ব্যবধানের হিসাব (আর পরিমিত ব্যবধান বনাম পরিমিত ভুল) দিয়ে নিজের তথ্যের গড়, পরিমিত ব্যবধান আর পরিমিত ভুল বের করুন, মুদ্রা ছুড়ুন দিয়ে সত্যিকারের মুদ্রা ছুড়ুন, আর ছক্কা ফেলুন দিয়ে ছক্কা ফেলুন; ছক্কার সম্ভাবনা: প্রতিটি ফেলার সুযোগ সুযোগগুলো হাতে কষে দেখায়।