কণিক ল্যাটিস বুঝে নিন: একক কোষ, ঠাসা, ঘনত্ব, মিলার সূচক আর ব্র্যাগের সূত্র

কেলাস হলো পুনরাবৃত্ত ছক

একটি কেলাসে পরমাণু এমন একটি ছকে বসে যা তিন দিকেই পুনরাবৃত্ত হয়। সবচেয়ে ছোট যে বাক্সটি পাশাপাশি নকল করলে গোটা কেলাসটিই গড়ে ওঠে তাই একক কোষ। একটি ঘনক কোষ বর্ণনা করা হয় একটি দৈর্ঘ্য দিয়ে, অর্থাৎ ল্যাটিস ধ্রুবক a, যা বেশির ভাগ কঠিনে কয়েকশো পিকোমিটার; একটি ষড়ভুজ কোষে দুটি লাগে, a আর c। ধাতু, লবণ, বরফ, খনিজ আর বেশির ভাগ কঠিন মৌলই কেলাস; কাচ আর অনেক প্লাস্টিক নয়।

প্রতি কোষে পরমাণু গোনা

একটি কোষের তলে বসা পরমাণু তার পাশেরগুলোর সঙ্গে ভাগ হয়। একটি কোনার পরমাণু 8টি কোষের, একটি ধারের পরমাণু 4টির, আর একটি তলের পরমাণু 2টির, তাই

Z = N_কোনা ÷ 8 + N_ধার ÷ 4 + N_তল ÷ 2 + N_ভেতর

সরল ঘনক (পোলোনিয়াম, একমাত্র মৌল যার এই গড়ন): 8টি কোনায় পরমাণু, Z = 1। প্রতিটি পরমাণু 6টি পাশেরকে ছোঁয়।
দেহ-কেন্দ্রিক ঘনক (ঘরের তাপমাত্রায় লোহা, ক্রোমিয়াম, টাংস্টেন, সোডিয়াম): কোনা আর তার সঙ্গে মাঝখানে একটি পরমাণু, Z = 2, 8টি পাশের।
তল-কেন্দ্রিক ঘনক (তামা, অ্যালুমিনিয়াম, রুপো, সোনা, নিকেল): কোনা আর তার সঙ্গে প্রতিটি তলের মাঝখান, Z = 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4, 12টি পাশের।
ষড়ভুজ ঘন-ঠাসা (ম্যাগনেশিয়াম, জিংক, টাইটানিয়াম): ABAB ধরে থাক বাঁধা স্তর, ছোট কোষে Z = 2, 12টি পাশের।

সবচেয়ে কাছের পাশেরগুলোর সংখ্যাই সন্নিবেশ সংখ্যা।

ঠাসার ভগ্নাংশ

পরমাণুকে এমন শক্ত গোলক ধরে যা সবচেয়ে ছোট দূরত্ব ধরে একে অন্যকে ছোঁয়, তারা কোষের যে ভাগটি ভরে তা হলো

ঠাসার ভগ্নাংশ = Z × (4/3)πr³ ÷ V

সরল ঘনকে পরমাণু ধার ধরে ছোঁয়, r = a ÷ 2, যা দেয় π ÷ 6 = 52.4%। দেহ-কেন্দ্রিক ঘনকে তারা দেহের কর্ণ ধরে ছোঁয়, r = √3 a ÷ 4, যা দেয় 68.0%। তল-কেন্দ্রিক ঘনকে তারা তলের কর্ণ ধরে ছোঁয়, r = √2 a ÷ 4, যা দেয় 74.0%, আর তা ষড়ভুজ ঘন-ঠাসারই সমান। কেপলার 1611-এ আন্দাজ করেছিলেন সমান গোলকের যেকোনো ঠাসা সবচেয়ে বেশি 74%-ই হতে পারে; টমাস হেলস 1998-এ তা প্রমাণ করেন।

আয়নিক আর সমযোজী কেলাস

একটি লবণ হলো একটির ভেতরে আরেকটি ঢোকা দুটি ল্যাটিস, প্রতিটি আয়নের একটি। কোনটি গড়ে ওঠে তা মোটামুটি ব্যাসার্ধের অনুপাত r₊ ÷ r₋-র ওপরে নির্ভর করে: 0.414 থেকে 0.732-তে প্রতিটি আয়ন 6টি অন্যের মাঝে বসে, 0.732-র ওপরে 8টির মাঝে, আর 0.225 থেকে 0.414-এ 4টির মাঝে।

শিলালবণ, NaCl: কোষের একটি ধারের অর্ধেক সরানো দুটি তল-কেন্দ্রিক ল্যাটিস; 6:6 সন্নিবেশ, প্রতি কোষে 4টি সংকেত একক। Na⁺ ÷ Cl⁻ = 102 ÷ 181 = 0.56।
সিজিয়াম ক্লোরাইড, CsCl: Cl⁻-র একটি ঘনকের মাঝখানে একটি Cs⁺; 8:8 সন্নিবেশ, প্রতি কোষে 1টি সংকেত একক। Cs⁺ ÷ Cl⁻ = 174 ÷ 181 = 0.96। তা দেহ-কেন্দ্রিক ঘনক নয়, কারণ মাঝখানের পরমাণুটি একটি আলাদা ধরনের।
জিংক ব্লেন্ড, ZnS: দেহের কর্ণের এক-চতুর্থাংশ সরানো দুটি তল-কেন্দ্রিক ল্যাটিস; প্রতিটি পরমাণুর একটি চতুস্তলকের কোনায় 4টি পাশের আছে।
হিরে: জিংক ব্লেন্ডের গড়ন, যার প্রতিটি পরমাণুই কার্বন। তা জায়গার মাত্র 34% ভরে, কারণ সমযোজী বন্ধন বাঁধা দিকেই মুখ করে। সিলিকন আর জার্মেনিয়ামের একই গড়ন।

একক কোষ থেকে ঘনত্ব

একটি কোষের ভর ভাগ তার আয়তন ঘনত্বটি দেয়:

ρ = Z M ÷ (N_A V)

যেখানে M হলো একটি সংকেত এককের মোলার ভর, N_A = প্রতি মোলে 6.022 × 10²³ আর একটি ঘনক কোষে V = a³ কিংবা ষড়ভুজটিতে (√3 ÷ 2) a² c। উল্টো দিকে চালিয়ে, a রঞ্জন-রশ্মিতে আর ρ মেপে নিয়ে, অ্যাভোগাদ্রো ধ্রুবক যেভাবে মাপা হয়েছে তার একটি এটিই।

মিলার সূচক

একটি কেলাসের ভেতর দিয়ে যাওয়া তলের নাম দেওয়া হয় তিনটি পূর্ণসংখ্যা (h k l) দিয়ে। ওই পরিবারের তলগুলো কোষের ধারগুলো কাটে a ÷ h, a ÷ k আর a ÷ l-এ; একটি 0 মানে সেগুলো ওই ধারের সমান্তরালে চলে। তাই (1 0 0) হলো ঘনকের তল, (1 1 0) তা কোণাকুণি কাটে, আর (1 1 1) কোনাগুলো কেটে দেয়। একটি ঘনক কেলাসে পাশের তলগুলোর মাঝের ফাঁক হলো

d = a ÷ √(h² + k² + l²)

আর একটি ষড়ভুজে 1 ÷ d² = 4(h² + hk + k²) ÷ 3a² + l² ÷ c²। ষড়ভুজ কেলাসে প্রায়ই চারটি সূচক (h k i l) দেওয়া হয়, যেখানে i = −(h + k), যাতে ছয়-ভাঁজের প্রতিসাম্যে জোড়া তলগুলো একই রকম দেখায়।

ব্র্যাগের সূত্র

রঞ্জন-রশ্মির তরঙ্গদৈর্ঘ্য পরমাণুর মাঝের ফাঁকের মাপের কাছাকাছি। 1912-এ মাক্স ফন লাউয়ে দেখান কেলাস সেগুলো অপবর্তিত করে; 1913-এ উইলিয়াম হেনরি ব্র্যাগ আর তাঁর ছেলে উইলিয়াম লরেন্স ব্র্যাগ কোণগুলো বুঝিয়ে দেন। পাশের তল থেকে প্রতিফলিত রঞ্জন-রশ্মি এমন পথ চলে যা 2d sin θ-তে আলাদা, যেখানে θ হলো গুচ্ছ আর তলগুলোর মাঝের কোণ। সেগুলো যোগ হয় কেবল তখনই, যখন ওই তফাতটি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি পূর্ণসংখ্যা:

n λ = 2 d sin θ

সন্ধানীটি ঢোকা গুচ্ছ থেকে 2θ-তে বসে। sin θ 1 ছাড়াতে পারে না, তাই λ ÷ 2-র চেয়ে কাছাকাছি তল কখনোই প্রতিফলিত করে না। (1 1 1) থেকে একটি দ্বিতীয়-ক্রমের প্রতিফলন (n = 2) অর্ধেক দূরের তল থেকে একটি প্রথম-ক্রমের প্রতিফলনেরই মতো, তাই তা সাধারণত (2 2 2) হিসেবেই লেখা হয়।

গড়নের গুণক

ব্র্যাগের সূত্র বলে একটি চূড়া কোথায় হতে পারত; তা দেখা দেয় কি না তা কোষের প্রতিটি পরমাণুর ওপরে নির্ভর করে:

F = Σ f_j e^(2πi (h x_j + k y_j + l z_j))

যেখানে x_j, y_j আর z_j হলো কোষের ধারের ভগ্নাংশ হিসেবে পরমাণুটির অবস্থান আর f_j হলো তা কত জোরালোভাবে বিক্ষিপ্ত করে, যা ছোট কোণে মোটামুটি তার ইলেকট্রনের সংখ্যা আর বড় কোণে তার চেয়ে কম। তীব্রতা চলে |F|² হিসেবে। তা থেকেই আসে নিয়মবাঁধা অনুপস্থিতি:

দেহ-কেন্দ্রিক: h + k + l যুগ্ম না হলে F = 0। লোহার কোনো (1 0 0) চূড়াই নেই; তার প্রথমটি (1 1 0)।
তল-কেন্দ্রিক: h, k আর l সবই অযুগ্ম কিংবা সবই যুগ্ম হতে হবে। তামা দেখায় (1 1 1), (2 0 0), (2 2 0), (3 1 1), (2 2 2)।
হিরে: তল-কেন্দ্রিকের মতোই, আর তার সঙ্গে h + k + l একটি অযুগ্ম সংখ্যার দ্বিগুণ হলেও কোনো চূড়া নেই, তাই (2 0 0) আর (2 2 2) মিলিয়ে যায়।
শিলালবণ: সব-অযুগ্ম সূচকের চূড়ায় F = 4(f_Cl − f_Na), তাই (1 1 1) দুর্বল। KCl-এ K⁺ আর Cl⁻-র একই 18টি ইলেকট্রন, ওই চূড়াগুলো প্রায় মিলিয়ে যায়, আর ছকটি অর্ধেক কোষের ধারের একটি সরল ঘনক কেলাসের মতো দেখায়।
ষড়ভুজ ঘন-ঠাসা: h + 2k 3-র একটি গুণিতক আর l অযুগ্ম হলে কোনো চূড়া নেই, যেমন (0 0 1) আর (1 1 1)।

একটি গুঁড়োয় খুদে কেলাস সব দিকেই মুখ করে, তাই তলের প্রতিটি পরিবারই তার নিজের 2θ-তে একটি আংটি দেয়। কোণ আর তীব্রতার তালিকাটিই গুঁড়োর ছক, যা মাল চিনতে ব্যবহার করা একটি আঙুলের ছাপ।

কষে দেখানো উদাহরণ

তামার ঘনত্ব: তল-কেন্দ্রিক, Z = 4, a = 361.5 pm = 3.615 × 10⁻⁸ cm, তাই V = 4.724 × 10⁻²³ cm³। ρ = 4 × 63.55 ÷ (6.022 × 10²³ × 4.724 × 10⁻²³) = 8.94 g/cm³। মাপা মান 8.96।
তামার প্রথম চূড়া: (1 1 1)-তে d = 361.5 ÷ √3 = 208.7 pm। তামার Kα রঞ্জন-রশ্মিতে λ = 154.06 pm, sin θ = 154.06 ÷ (2 × 208.7) = 0.369, θ = 21.66° আর চূড়াটি 2θ = 43.32°-এ।
লোহার বাদ পড়া চূড়া: a = 286.65 pm নিয়ে দেহ-কেন্দ্রিক। (1 0 0) চূড়াটি 2θ = 31.2°-এ হত, কিন্তু h + k + l = 1 অযুগ্ম, তাই F = 0। প্রথম চূড়াটি (1 1 0): d = 286.65 ÷ √2 = 202.7 pm আর 2θ = 44.67°।
একটি চূড়া থেকে একটি ল্যাটিস ধ্রুবক: তামার Kα-তে লবণ 2θ = 31.70°-এ একটি জোরালো চূড়া দেখায়। d = 154.06 ÷ (2 sin 15.85°) = 282.0 pm। তা একটি তল-কেন্দ্রিক ল্যাটিসের (2 0 0) চূড়া হলে a = 2d = 564.0 pm।
তল-কেন্দ্রিক ঘনকে ঠাসা: r = √2 a ÷ 4-র 4টি গোলক দেয় 4 × (4/3)π(√2 a ÷ 4)³ ÷ a³ = π ÷ (3√2) = 0.740।

সিমুলেশনটি ব্যবহার করা

কণিক ল্যাটিসের 3D দর্শক-এ দেখে নেওয়ার মতো কিছু:

জায়গা-ভরা দৃশ্যে সরল ঘনক, দেহ-কেন্দ্রিক আর তল-কেন্দ্রিক ঘনকে ধাপে ধাপে এগিয়ে ঠাসার ভগ্নাংশগুলো মিলিয়ে দেখুন; তারপর তলের পরমাণুগুলো কেটে Z গড়ে তোলা আট ভাগের এক ভাগ আর অর্ধেকগুলো দেখে নিন।
দেহ-কেন্দ্রিক লোহা বেছে নিয়ে (1 0 0) বসান: প্রতিফলনটি নেই। (1 1 0) বসিয়ে তার চূড়াটি খুঁজে নিন।
হিরে বেছে নিয়ে (2 2 2) বসান: নেই। তার গুঁড়োর ছকটি তামারটির সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন, যার একই তল-কেন্দ্রিক ল্যাটিস।
শিলালবণ বেছে নিয়ে দুর্বল (1 1 1) চূড়াটি জোরালো (2 0 0)-র সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন।
সরল ঘনক বেছে নিয়ে (3 3 3) বসান: তামার বিকিরণে λ 2d-র চেয়ে লম্বা, তাই কোনো কোণই খাটে না। মলিবডেনামে বদলে নিন।
পরমাণু একটির ওপরে আরেকটি পড়া পর্যন্ত ল্যাটিস ধ্রুবক নিচে টেনে আনুন, আর ঘনত্ব 1 ÷ a³ হিসেবে উঠতে আর চূড়া বড় কোণে সরে যেতে দেখুন।
3 × 3 × 3 থাকটি চালু করে দেখুন একটি কোষ কীভাবে কেলাসটি গড়ে তোলে আর তলগুলো কীভাবে তার ভেতর দিয়ে চলে।

আদলটি যা ধরে নেয়

একটি নিখুঁত, অসীম কেলাস: প্রতিটি কোষই অভিন্ন, আর কোনো শূন্যস্থান, ভেজাল, স্থানচ্যুতি কিংবা তল নেই।
শক্ত গোলক: পরমাণু বাঁধা ব্যাসার্ধের গোলক: ধাতুতে ধাতব ব্যাসার্ধ, NaCl আর CsCl-এ আয়নিক ব্যাসার্ধ, জিংক ব্লেন্ড আর হিরেতে সমযোজী ব্যাসার্ধ। ঠাসার ভগ্নাংশ আর একটির ওপরে আরেকটি পড়ার সতর্কতা ওই বেছে নেওয়ার ওপরেই নির্ভর করে।
প্রতিটি গড়নে একটি ল্যাটিস ধ্রুবক, যা ঘরের তাপমাত্রার কাছে মাপা; আপনি a বদলালেও ম্যাগনেশিয়াম তার মাপা অনুপাত c ÷ a = 1.624 ধরে রাখে।
একটি সরল বিক্ষেপণের গুণক: f = Z e^(−2s²) ÷ (1 + 3s²), যেখানে s = sin θ ÷ λ, Å⁻¹-এ। তা ইলেকট্রনের সংখ্যায় শুরু হয় আর কোণের সঙ্গে নামে, অর্থাৎ একটি বসানো ফিট, যা তামা আর লবণের মাপা ছকের সঙ্গে মোটামুটি মেলে; আসল মান আসে ছক থেকে।
তীব্রতা হলো |F|² গুণ লোরেন্ৎস-সমবর্তনের গুণক (1 + cos² 2θ) ÷ (sin² θ cos θ), যা একই ফাঁকের সব তল জুড়ে যোগ করা। শোষণ, পছন্দের দিকে বসে থাকা আর পরমাণুর তাপের নড়াচড়া আলাদা করে আদলে ধরা হয় না।
একটিই তীক্ষ্ণ তরঙ্গদৈর্ঘ্য: Kα-কে একটিই রেখা ধরা হয়, আর প্রতিটি চূড়া বাঁধা চওড়ার একটি সরু বাঁক হিসেবে আঁকা হয়।

কিনারার বেলা

তিনটি মিলার সূচকই 0: কোনো তলই নেই, তাই কোনো d নেই আর কোনো চূড়াও নেই।
অনুপস্থিত প্রতিফলন: তলগুলো আঁকা হয় আর d দেখানো হয়, কিন্তু F = 0 আর কোনো চূড়া নেই। দেহ-কেন্দ্রিকে (1 0 0), হিরেতে (2 0 0) আর (2 2 2), ম্যাগনেশিয়ামে (1 1 1)।
λ > 2d: একটি ছোট কোষে বড় সূচক, যেমন তামার বিকিরণে পোলোনিয়ামে (3 3 3); sin θ-কে 1 ছাড়াতে হত। মলিবডেনামের ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্য আরও তলে পৌঁছায়।
150°-র ওপরের চূড়া: ছকটি 150°-তেই থেমে যায়, অর্থাৎ অনেক ডিফ্র্যাক্টোমিটারের সীমার কাছে।
আসলটির থেকে অনেক দূরের ল্যাটিস ধ্রুবক: ঘনত্ব আর চূড়া তা মেনে চলে, তবে পরমাণু তাদের ব্যাসার্ধ ধরেই রাখে, তাই একটি চেপে দেওয়া কোষ 74%-র ওপরে কিংবা এমনকি 100%-র ওপরে ঠাসা আর একটি একটির ওপরে আরেকটি পড়ার সতর্কতা দেখায়, আর একটি টেনে দেওয়া কোষের পরমাণু আর একে অন্যকে ছোঁয় না। দুটিই আসল কেলাস নয়।
গড়ন বদলালে ল্যাটিস ধ্রুবক ওই উদাহরণের মাপা মানে ফিরে যায়।
3 × 3 × 3 থাকে ভাগ করা পরমাণু: Z গোনাটি সবসময়ই একটি কোষের।
ষড়ভুজের সূচক: তিন-সূচকের (h k l) চার-সূচকের (h k i l) হিসেবেও দেখানো হয়; ওখানে (1 0 0) আর (0 1 0)-র মতো তল সমতুল্য।

আদলটি কোথায় আর ঠিক থাকে না

পরমাণু শক্ত গোলক নয়। ব্যাসার্ধ পাশের সংখ্যার আর বন্ধনের ধরনের সঙ্গে বদলায়, আর আয়ন চেপে যায় ও সমবর্তিত হয়। ব্যাসার্ধের অনুপাতের নিয়ম অনেক লবণের গড়ন ভুলই বলে দেয়।
আসল কেলাসে খুঁত থাকে। শূন্যস্থান, ভেজাল আর দানার সীমানা মাপা ঘনত্বকে রঞ্জন-রশ্মির ঘনত্ব থেকে একটু আলাদা করে দেয়, আর সেগুলোই ধাতুকে বাঁকতে দেয়।
তাপমাত্রা। কেলাস গরমে ছড়িয়ে যায় (তামা প্রতি কেলভিনে প্রায় 17 ppm), আর পরমাণু কাঁপে, যা বড় কোণের চূড়া দুর্বল করে দেয়। কিছু গড়ন বদলায়: লোহা 912 °C-র ওপরে তল-কেন্দ্রিক হয়ে যায়।
বন্ধনের ইলেকট্রন। গড়নের গুণক প্রতিটি পরমাণুকে একটি গোল মেঘ ধরে। হিরেতে বন্ধনের ইলেকট্রন নিষিদ্ধ (2 2 2) চূড়াটি হালকা করে দেখা দিতে দেয়, আর আসল ইলেকট্রনের মেঘের আকার পারমাণবিক অরবিটালের 3D দর্শক-এর মতো অরবিটালই মেনে চলে।
আসল রঞ্জন-রশ্মির উৎস আর নমুনা। তামার Kα একটি জোড়া রেখা, যা বড় কোণে চূড়া ভেঙে দেয়; ছোট কেলাস চূড়া চওড়া করে দেয়; লোহার মতো মৌল তামার বিকিরণে প্রতিপ্রভ হয়; আর একটি পছন্দের দিকে শুয়ে থাকা কেলাস তীব্রতা বিকৃত করে দেয়। মাপা ছক পুরো আদলে (রিটভেল্ড শোধনে) বসানো হয়, যাতে এই সবই ধরা থাকে।
সবই একটি সরল কেলাস নয়। এলোমেলোভাবে মেশানো পরমাণুর সংকর, শৃঙ্খলা আছে কিন্তু পুনরাবৃত্তি নেই এমন আধা-কেলাস, আর যে কাচে আদৌ কোনো দূরের শৃঙ্খলাই নেই, যা তীক্ষ্ণ চূড়ার বদলে চওড়া ঢিপি দেয়।

পাশের সরঞ্জাম

মোলার ভরের হিসাব ঘনত্বের সমীকরণের জন্য M দেয়, আর মোলার ভর কীভাবে বের করবেন তা বুঝিয়ে দেয়। বৈজ্ঞানিক লেখার রূপান্তরকারী 10⁻²³ cm³-র মতো সংখ্যা সামলায়, আর দৈর্ঘ্যের রূপান্তরকারী পিকোমিটারকে অ্যাংস্ট্রম আর ন্যানোমিটারে বদলে দেয়। একটি কেলাসে অপবর্তন হলো ব্যতিচার, যেমন দুই-চিরের পরীক্ষার সিমুলেটর-এ। প্রতিটি পরমাণুর ভেতরের ইলেকট্রনের জন্য দেখুন পারমাণবিক অরবিটাল বুঝে নিন: s, p, d আর f; কেলাস নয়, একক অণুর জন্য 3D অণু দর্শক।

কণিক ল্যাটিস, একক কোষ আর রঞ্জন-রশ্মির অপবর্তন