শিকারি আর শিকারের চক্র: লোটকা–ভলতেরা সমীকরণ বুঝে নিন

শিকারি আর শিকার চক্রে চলে কেন

খরগোশ আর শেয়ালের একটি মাঠ ভাবুন। খরগোশ প্রচুর থাকলে শেয়াল ভালো খায় আর অনেক বাচ্চা বড় করে, তাই শেয়াল বাড়ে। শিগগিরই এত শেয়াল হয়ে যায় যে তারা খরগোশ যত জন্মায় তার চেয়ে দ্রুত খেয়ে ফেলে, আর খরগোশ কমে আসে। খাওয়ার অল্পই থাকায় তখন শেয়াল অনাহারে কমে যায়, যা খরগোশকে সামলে উঠতে দেয়, আর চক্রটি আবার শুরু হয়। প্রত্যেকেই অন্যটিকে চালায়, আর শেয়ালের চূড়া সবসময়ই খরগোশের চূড়ার পরে আসে।

লোটকা–ভলতেরা সমীকরণ

যুক্তরাষ্ট্রে আলফ্রেদ লোটকা আর ইতালিতে ভিতো ভলতেরা 1920-র দশকে আলাদা আলাদাভাবে একই আদল লিখে ফেলেন; ভলতেরা বোঝাতে চাইছিলেন, প্রথম বিশ্বযুদ্ধে মাছ ধরা থেমে যাওয়ায় আদ্রিয়াতিকের ধরা মাছে শিকারি মাছের ভাগ বেড়ে গেল কেন। R শিকার আর F শিকারি নিয়ে:

dR/dt = aR − bRF   আর   dF/dt = cbRF − dF

• a হলো শিকারের জন্মের হার। শিকারি না থাকলে শিকার সূচকীয়ভাবে বাড়ে।
• b হলো শিকারের হার: শিকারি আর শিকারের মাঝে দেখা হওয়ার সংখ্যা R × F-র সমানুপাতী, আর প্রতিটি দেখা একটি বাঁধা সুযোগে একটি শিকার মেরে ফেলে।
• c হলো খাওয়া প্রতিটি শিকারে কতগুলো শিকারি জন্মায়।
• d হলো শিকারির মরার হার। শিকার না থাকলে শিকারি সূচকীয়ভাবে মরে যায়।

সাম্য আর পর্যায়

dR/dt = 0 আর dF/dt = 0 হলে দুটি দলই বদলানো থামিয়ে দেয়। দুটিই শূন্য হওয়া তুচ্ছ বিন্দুটি ছাড়া তা ঘটে

R* = d ÷ (cb)   আর   F* = a ÷ b-তে

শিকারের সাম্যের সংখ্যা কেবল শিকারির রাশিগুলোর ওপরে নির্ভর করে, আর শিকারির সংখ্যা কেবল শিকারেরগুলোর ওপরে। অন্য কোথাও থেকে শুরু করুন আর সংখ্যাগুলো এই বিন্দুর চারপাশে চিরকাল চক্রে চলে। ছোট চক্রের পর্যায় হলো

T ≈ 2π ÷ √(ad)

আর বড় চক্রে আরও সময় লাগে। সমীকরণগুলো প্রতিটি চক্র ধরে একটি রাশিও ধ্রুব রাখে, V = cbR − d ln R + bF − a ln F, আর তাই প্রতিটি চলাই একটি বন্ধ লুপ আঁকে: চক্র বাড়েও না, ছোটও হয় না, আর তাদের মাপ কেবল কোথায় শুরু হয়েছিল তার ওপরেই নির্ভর করে।

দশার আঁকা

দুটিকেই সময়ের বিপরীতে না আঁকে শিকারকে শিকারের বিপরীতে আঁকলে চক্রটি সাম্যের চারপাশে একটি লুপ হয়ে যায়। তার চারপাশে ঘড়ির কাঁটার উল্টো দিকে চলা: শিকারি অল্প থাকতে শিকার বাড়ে (তলা), শিকার অনেক থাকতে শিকারি বাড়ে (ডান), শিকারি অনেক হলে শিকার ভেঙে পড়ে (ওপর), আর শিকার অল্প হলে শিকারি ভেঙে পড়ে (বাঁ)।

একটি কষে দেখানো উদাহরণ

সিমুলেশনের সমীকরণ শুরু হয় প্রতি খরগোশে প্রতি দিনে a = 0.04 জন্ম, 2,601 টুকরোর একটি মাঠে শিকারের সফলতা 1, তাই b = 1 ÷ 2,601 = 3.84 × 10⁻⁴, খাওয়া প্রতিটি খরগোশে c = 0.25 শেয়ালের জন্ম, আর প্রতি শেয়ালে প্রতি দিনে d = 0.0125 শেয়ালের মৃত্যু নিয়ে।

1. R* = 0.0125 ÷ (0.25 × 3.84 × 10⁻⁴) = 130 খরগোশ।
2. F* = 0.04 ÷ (3.84 × 10⁻⁴) = 104 শেয়াল।
3. ছোট চক্রে T = 2π ÷ √(0.04 × 0.0125) = 2π ÷ 0.0224 = 281 দিন।
4. 100 খরগোশ আর 50 শেয়াল থেকে শুরু করে: dR/dt = 0.04 × 100 − 3.84 × 10⁻⁴ × 100 × 50 = 4 − 1.92 = দিনে +2.1 খরগোশ, আর dF/dt = 0.25 × 3.84 × 10⁻⁴ × 100 × 50 − 0.0125 × 50 = 0.48 − 0.63 = দিনে −0.14 শেয়াল। খরগোশ ওঠে আর শেয়াল পড়ে: চলাটি লুপের নিচে বাঁ দিকে শুরু হয়।

একটি ধারণক্ষমতা জোড়া

আসল শিকার শিকারি না থাকলেও সীমা ছাড়া বাড়তে পারে না। aR-র জায়গায় aR(1 − R ÷ K) বসালে শিকার একটি ধারণক্ষমতা K-তে থিতু হয়ে যায়। সাম্যের খরগোশ R*-তেই থাকে, শেয়াল থিতু হয় a(1 − R* ÷ K) ÷ b-তে, আর চক্রগুলো এখন ভেতরের দিকে পাক খেয়ে ওই স্থির অবস্থায় মিলিয়ে যায়। উদাহরণে K = 1,000 নিয়ে শেয়াল থিতু হয় 104 × 0.87 = 90-এ। K R*-র চেয়ে ছোট হলে খরগোশ কখনোই শেয়ালকে খাওয়ানোর মতো চলতি হতে পারে না, আর শেয়াল মরে যায়।

সমীকরণের বদলে প্রাণী

সিমুলেশনের অন্য আদলটি প্রতিটি প্রাণীই অনুসরণ করে। খরগোশ ঘুরে বেড়ায়, তাদের টুকরোর ঘাস খায়, যা তারপর আবার গজাতে সময় নেয়, আর বাচ্চা দেয়; শেয়াল ঘুরে বেড়ায়, যে খরগোশের দেখা পায় তা ধরে, আর বেশি সময় না খেয়ে থাকলে মরে যায়। নিয়মে কোথাও বলা নেই যে সংখ্যাগুলো চক্রে চলবে, তবু তারা চলে, কারণ ওই একই ফিরতি ক্রিয়াই কাজ করছে। গোড়ার সেটিংসে খরগোশ প্রায় 300-তে চূড়ায় পৌঁছায় আর চক্রগুলো এলোমেলো, মোটামুটি 200 দিনের ফাঁকে; 3,000 দিনের পনেরোটি পরখের চলায় কোনো প্রজাতিই মরে যায়নি।

সিমুলেশনটি ব্যবহার করা

শিকারি আর শিকারের দলের সিমুলেটর-এ দেখে নেওয়ার মতো কিছু:

• দশার আঁকাটি দেখুন: হলুদ চলাটি নীল আর কমলা রেখা, অর্থাৎ R* আর F* যেখানে কাটাকাটি করে সেই বিন্দুর চারপাশে ঘোরে।
• সমীকরণে 130 খরগোশ আর 104 শেয়ালে শুরু করুন: কিছুই বদলায় না। আরও দূরে শুরু করুন আর লুপটি বড় আর ধীর হয়ে যায়।
• একটি ধারণক্ষমতা বসিয়ে লুপটি ভেতরে পাক খেতে দেখুন।
• প্রাণী নিয়ে শিকারের সফলতা 0.3-এ নামিয়ে দিন: শেয়াল যথেষ্ট ধরতে পারে না আর মরে যায়, আর তারপর ঘাসই খরগোশ সীমায় বাঁধে।
• ঘাস আবার গজানোর সময় 0-তে বসান, অর্থাৎ সীমাহীন ঘাস: খরগোশ হুড়মুড় করে বাড়ে, দোলা অনেক বড় হয়ে যায়, আর শেয়াল একটি ধসে মরে যাওয়ারই ঝোঁক দেখায়।

আদলটি যা ধরে নেয়

• ভরের ক্রিয়া: মারা R × F-র সমানুপাতী, যেন প্রতিটি প্রাণীই অন্য প্রত্যেকের দেখা সমানভাবে ঘন ঘন পেতে পারে। খরগোশ আরও চলতি হলে প্রতিটি শেয়াল আরও বেশি খরগোশ খেয়ে যেত, কোনো সীমা ছাড়াই।
• ধ্রুব হার: জন্ম আর মৃত্যুর হার ঋতু, বয়স কিংবা ভিড়ের সঙ্গে বদলায় না (K ছাড়া)।
• সঙ্গে সঙ্গে সাড়া: একটি খাওয়া খরগোশ সঙ্গে সঙ্গেই একটি নতুন শেয়ালের একটি ভগ্নাংশ হয়ে যায়, কোনো গর্ভধারণ কিংবা বড় হওয়া ছাড়াই।
• অবিচ্ছিন্ন সংখ্যা: সমীকরণ একটি শেয়ালের 0.01 অংশ চলতে দেয়; আসল প্রাণী পূর্ণসংখ্যায়ই আসে।
• একটি শিকারি, একটি শিকার, একটি বন্ধ জায়গায়, যেখানে কোনো যাওয়া-আসা নেই।
• প্রাণীর আদলে জন্ম এলোমেলো ঘটনা, যার সুযোগ স্লাইডারে বসানো, প্রতিটি জন্ম বাবা-মায়ের খাবারের ভাঁড়ার অর্ধেক করে দেয়, আর মাঠটি তার ধারে ঘুরে পেছনে চলে আসে।

কিনারার বেলা

• কোনো শিকারি নেই: সমীকরণে শিকার সূচকীয়ভাবে বাড়ে, কিংবা K পর্যন্ত; প্রাণী নিয়ে ঘাসই তাদের সীমায় বাঁধে।
• কোনো শিকার নেই: শিকারি অনাহারে মরে। প্রাণী নিয়ে তারা কিছুক্ষণ তাদের খাবারের ভাঁড়ারে বাঁচে, তারপর সবাই মরে যায়।
• ঠিক সাম্যে শুরু: সমীকরণ স্থির থাকে। প্রাণী নিয়ে কেবল আকস্মিকতাই সংখ্যাগুলো তা থেকে সরিয়ে দেয় আর একটি চক্র শুরু হয়ে যায়।
• K R*-র নিচে: শিকারিদের টিকিয়ে রাখা যায় না আর তারা মরে যায়।
• খুব বড় চক্র: সমীকরণ একটি প্রাণীর খুদে ভগ্নাংশে নেমে গিয়ে আবার সামলে ওঠে; ওই নিচুতে প্রাণীরা মরে যায়।
• একটি ভরা মাঠ: সিমুলেশনটি চালু রাখতে 4,000 খরগোশ আর 1,500 শেয়ালে জন্ম থেমে যায়।

আদলটি কোথায় আর ঠিক থাকে না

• শিকারির পেট ভরে যায়। যত খরগোশই থাকুক, একটি শেয়াল দিনে ততগুলোই খেতে পারে। সি. এস. হলিং এটিকে একটি দ্বিতীয় ধরনের কাজের সাড়া বলেছিলেন; তা আর একটি ধারণক্ষমতা নিয়ে শিকারের খাবার বাড়িয়ে দিলে চক্রগুলো বড় হতে হতে একটি দল ভেঙে পড়তে পারে, যা 1971-এ মাইকেল রোজেনজ়্ভাইগের বর্ণনা করা “সমৃদ্ধির হেঁয়ালি”।
• বিলুপ্তি সত্যি। 1930-র দশকে গেওর্গি গাউজের পরীক্ষায় শিকারি প্রোটিস্ট Didinium নলের প্রতিটি Paramecium খেয়ে ফেলে আর তারপর অনাহারে মরে। শিকারি আর শিকার টিকে থাকল কেবল যখন কিছু শিকার লুকোতে পারত কিংবা নতুন শিকার এসে পড়ত।
• জায়গায় এসে যায়। 1958-এ কমলালেবুর ওপরে কার্ল হাফেকারের মাইট চক্রে চলল কেবল যখন কমলালেবুগুলো এমনভাবে ছড়ানো ছিল যাতে শিকার শিকারিদের এখনো না-পাওয়া টুকরোয় পালাতে পারত। টুকরো টুকরো প্রাকৃতিক দৃশ্য এমন দলকেও টিকিয়ে রাখে, যা একটি ভালোভাবে মেশানো বাক্সে মরে যেত।
• আসল চক্রের আরও কারণ আছে। কানাডার লিংক্স আর তুষার খরগোশ হাডসন'স বে কম্পানির লোমের হিসাবে প্রায় প্রতি দশ বছরে ওঠে আর পড়ে, কিন্তু মাঠের পড়াশোনায় দেখা গেছে খরগোশের চক্রটি চালায় খাবার আর শিকারিদের চাপে বাচ্চা দেওয়ার দুর্দশা, কেবল খেয়ে ফেলা নয়।
• অনেক প্রজাতি। বেশির ভাগ শিকারিই কয়েক ধরনের শিকার খায় আর যেটি চলতি তাতেই বদলে নেয়, যা চক্রগুলো দমিয়ে দেয়।

পাশের সরঞ্জাম

ব্যাকটেরিয়ার বৃদ্ধির সিমুলেটর একটিমাত্র দলকে সূচকীয়ভাবে বাড়তে আর তার ধারণক্ষমতায় থিতু হতে দেখায়, আর কোষের দ্বিগুণ হওয়ার সময়ের হিসাব তা কত দ্রুত দ্বিগুণ হয় তা বের করে, যেমন কোষের দ্বিগুণ হওয়ার সময় কীভাবে বের করবেন-এ। প্রাকৃতিক নির্বাচন আর দলীয় জিনতত্ত্বের সিমুলেটর দেখায় শিকার হওয়া একটি দলের জিন কীভাবে বদলে দেয়, আর মহামারি ছড়ানোর সিমুলেটর: SIR আর SEIR একই ভরের ক্রিয়ার ভাবনাটি একটি শহর জুড়ে ছড়ানো একটি সংক্রমণে বসিয়ে দেয়।