কুঠুরির আদল
1927-এ উইলিয়াম কার্ম্যাক আর অ্যান্ডারসন ম্যাকেন্ড্রিক একটি মহামারি বর্ণনা করলেন সবাইকে কয়েকটি দলে ভাগ করে আর মানুষ কীভাবে দলে দলে সরে যায় তা অনুসরণ করে। SIR আদলে প্রত্যেকেই হয় সংক্রমণ-যোগ্য (S), সংক্রামক (I), কিংবা সামলে ওঠা (R) আর রোগপ্রতিরোধী। SEIR আদল জুড়ে দেয় একটি সংস্পর্শে-আসা দল (E), অর্থাৎ যাঁরা সংক্রমণ ধরেছেন কিন্তু এখনো ছড়াতে পারেন না। N জন মানুষের একটি শহরে:
dS/dt = −βSI ÷ N, dE/dt = βSI ÷ N − σE, dI/dt = σE − γI, dR/dt = γI
- β হলো একজন সংক্রামক মানুষ দিনে যতগুলো সংক্রামক ছোঁয়াছুঁয়ি করেন। একজন সংক্রমণ-যোগ্য মানুষের সঙ্গে একটি ছোঁয়া, অর্থাৎ শহরের S ÷ N ভাগের একজনের সঙ্গে, সংক্রমণটি ছড়িয়ে দেয়।
- σ হলো 1 ÷ উদ্ভবের (সুপ্ত) সময়। SIR-এ কোনো E নেই আর নতুন রোগী সঙ্গে সঙ্গেই সংক্রামক।
- γ হলো 1 ÷ সংক্রামক থাকার সময়।
R₀ আর কার্যকর বংশবৃদ্ধির সংখ্যা
গোড়ার বংশবৃদ্ধির সংখ্যা R₀ হলো বাকি সবাই সংক্রমণ-যোগ্য থাকলে একজন রোগী গড়ে যতজনকে সংক্রমিত করেন। এই আদলে R₀ = β ÷ γ: দিনে ছোঁয়াছুঁয়ি গুণ সংক্রামক থাকার দিন। 1-র ওপরে প্রাদুর্ভাবটি বাড়তে পারে; 1-র নিচে সংক্রমণের প্রতিটি শিকলই মিলিয়ে যায়।
মানুষ সামলে উঠে রোগপ্রতিরোধী হয়ে গেলে প্রতিটি রোগীই সংক্রমিত করার মতো কম মানুষ পান। কার্যকর বংশবৃদ্ধির সংখ্যা হলো R_t = R₀ × S ÷ N। R_t 1-এ নেমে আসার মুহূর্তেই মহামারিটি চূড়ায় পৌঁছায়, যখন শহরের 1 ÷ R₀ ভাগ তখনো সংক্রমণ-যোগ্য, আর তার পরে তা ছোট হয়ে আসে। ছোঁয়াছুঁয়ি কমানো ব্যবস্থা R_t আরও নামিয়ে দেয়।
দলীয় রোগপ্রতিরোধ
একটি প্রাদুর্ভাব শুরুর আগেই দলের p ভাগ রোগপ্রতিরোধী হলে R_t শুরু হয় R₀ × (1 − p)-তে। তা 1-র নিচে হলে প্রাদুর্ভাবটি বাড়তে পারে না, তাই দলীয় রোগপ্রতিরোধের সীমা হলো
p = 1 − 1 ÷ R₀
R₀ = 2-তে দলের অর্ধেক, R₀ = 3-তে দুই-তৃতীয়াংশ, আর হামে প্রায় 92% থেকে 95%, যার R₀ প্রায় 12 থেকে 18। রোগপ্রতিরোধী মানুষ সংক্রমণের শিকল ভেঙে দিয়ে বাকিদের বাঁচিয়ে দেন।
শেষ মাপ
একটি প্রাদুর্ভাব দলীয় রোগপ্রতিরোধের সীমায় থামে না: চূড়ায় তখনো অনেকে সংক্রামক আর তাঁরা অন্যদের সংক্রমিত করে চলেন, তাই তা ছাপিয়ে যায়। যে s ভাগ কখনোই সংক্রমিত হয় না তা শেষ মাপের সমীকরণটি মানে
ln(1 ÷ s) = R₀ × (1 − s)
আর তা পুরোপুরি সংক্রমণ-যোগ্য একটি শহরের জন্য। তার কোনো বীজগাণিতিক সমাধান নেই, তবে তা ধাপে ধাপে কষা যায়। উত্তরটি SIR আর SEIR-এ একই: উদ্ভবের সময় বদলায় রোগীরা কখন আসবেন তা, কতজন আসবেন তা নয়।
একটি কষে দেখানো উদাহরণ
সিমুলেশনটি শুরু হয় R₀ = 3, 3 দিনের উদ্ভবের সময় আর 7 দিনের সংক্রামক থাকার সময় নিয়ে, 1,000 জনের একটি শহরে 5 জন সংক্রামক মানুষ দিয়ে।
- γ = 1 ÷ 7 = দিনে 0.143, তাই β = R₀ × γ = দিনে 0.429 সংক্রামক ছোঁয়াছুঁয়ি।
- দলীয় রোগপ্রতিরোধের সীমা: 1 − 1 ÷ 3 = 0.667, অর্থাৎ 667 জন।
- শেষ মাপ: s = 0.06 দেখুন: ln(1 ÷ 0.06) = 2.81 আর 3 × 0.94 = 2.82, কাছাকাছিই। শহরের প্রায় 94% তা ধরে ফেলে, যা 67% সীমার চেয়ে অনেক বেশি।
- SIR-এ গোড়ার বাড়া: রোগী ওঠে দিনে β − γ = 0.286-এ, আর প্রতি ln 2 ÷ 0.286 = 2.4 দিনে দ্বিগুণ হয়। উদ্ভবের সময় এটি ধীর করে দেয়।
- সমীকরণে SIR প্রাদুর্ভাবটি চূড়ায় পৌঁছায় প্রায় 21 দিনে; 3-দিনের উদ্ভবের সময় নিয়ে প্রায় 36 দিনে।
আগে শহরের অর্ধেককে টিকা দিন আর R_t শুরু হয় 1.5-এ: শহরের প্রায় 30% সংক্রমিত হয়। 70%-কে টিকা দিন, অর্থাৎ সীমার ওপরে, আর প্রাদুর্ভাবটি কয়েক ডজন রোগীর পরেই মিলিয়ে যায়।
বাঁক চ্যাপ্টা করা
দূরত্ব β কমায়, আর সঙ্গনিরোধ রোগীদের একটি ভাগকে কাউকেই সংক্রমিত করা থেকে আটকায়। দুটিই কার্যকর R₀ নামিয়ে দেয়। ছোঁয়াছুঁয়ি অর্ধেক করলে R₀ = 3 হয়ে যায় 1.5: চূড়া অনেক নিচে আর পরে, আর শেষ মাপ 94% থেকে প্রায় 59%-এ নেমে আসে, কারণ প্রাদুর্ভাবটি নিচু সীমাটি কম ছাপিয়ে যায়। চূড়া নিচে রাখায় হাসপাতালের জন্যই সবচেয়ে বেশি এসে যায়, কারণ তারা একবারে ততজনেরই চিকিৎসা করতে পারে।
সিমুলেশনটি ব্যবহার করা
মহামারি ছড়ানোর সিমুলেটর: SIR আর SEIR-এ দেখে নেওয়ার মতো কিছু:
- গোড়ার সেটিংসে চালান আর শহরটি, যা অখণ্ড রেখায়, সমীকরণগুলোর সঙ্গে, যা ভাঙা রেখায়, মিলিয়ে দেখুন। R_t যে দিনে 1-র নিচে নামে তা খেয়াল করে চূড়ার সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন।
- SIR-র জন্য উদ্ভবের সময় 0-তে বসান: প্রাদুর্ভাবটি আগে আর দ্রুত আসে, তবে শেষ মাপ একই।
- 60%, তারপর 70%-কে টিকা দিন: R₀ = 3-র সীমাটি মাঝেই পড়ে।
- 50% রোগীকে সঙ্গনিরোধে রাখুন আর 50% দূরত্বের সঙ্গে মিলিয়ে দেখুন: দুটিই R₀ অর্ধেক করে।
- R₀ 1.2-তে আর শহর 200 জনে একটি রোগী নিয়ে বসান: কিছু চলা সঙ্গে সঙ্গেই মিলিয়ে যায়, কিছু ছড়িয়ে পড়ে।
আদলটি যা ধরে নেয়
- সমান মেশা: প্রতিটি সংক্রামক মানুষের শহরের যে কারও দেখা পাওয়ার সম্ভাবনা সমান; কোনো পরিবার, স্কুল কিংবা জাল নেই।
- সবাই একই রকম: একই সংক্রমণ-যোগ্যতা, একই ছোঁয়াছুঁয়ি, একই সংক্রামক থাকার সময়।
- সূচকীয় অপেক্ষার সময়: প্রতিটি সংস্পর্শে-আসা কিংবা সংক্রামক মানুষের প্রতিদিনই এগিয়ে যাওয়ার একই সুযোগ, তাই কেউ একদিনে সামলে ওঠেন আর কারও সপ্তাহ লাগে, আর গড়টি ঠিকই থাকে।
- টেকসই রোগপ্রতিরোধ: সামলে ওঠা আর টিকা পাওয়া মানুষ আর কখনোই তা ধরেন না, আর টিকা নিখুঁত।
- একটি বন্ধ শহর: একটিমাত্র প্রাদুর্ভাব জুড়ে কোনো জন্ম, মৃত্যু, যাত্রা কিংবা রোগে মৃত্যু নেই।
- সঙ্গনিরোধ রোগীরা সংক্রামক হওয়ার মুহূর্তেই তাঁদের একটি বাঁধা ভাগ ধরে ফেলে আর সামলে ওঠা পর্যন্ত ধরে রাখে; দূরত্ব প্রতিটি ছোঁয়াছুঁয়িই একই ভাগে কমিয়ে দেয়।
কিনারার বেলা
- R₀ 1-র নিচে: সংক্রমণের প্রতিটি শিকলই মিলিয়ে যায়, গড়ে 1 ÷ (1 − R₀) রোগীর পরে: R₀ = 0.9-তে দশজন, R₀ = 0.5-তে দুজন।
- R₀ 1-র সামান্য ওপরে: একটি ছোট শহরে অনেক প্রাদুর্ভাবই দাঁড়ানোর আগেই আকস্মিকভাবে মিলিয়ে যায়, যদিও সমীকরণ একটি মহামারি বলে দেয়। একটি রোগী আর R₀ = 1.2 নিয়ে বেশির ভাগ চলাই গোড়াতেই মিলিয়ে যায়।
- সীমার ওপরে টিকা: R_t শুরু হয় 1-র নিচে, তাই প্রাদুর্ভাবটি বাড়তে পারে না, যদিও টিকা না-পাওয়া কিছু মানুষ তখনো সংক্রমিত হতে পারেন।
- খুব উঁচু R₀: R₀ = 12-তে রোগপ্রতিরোধী নন এমন প্রায় প্রত্যেকেই সংক্রমিত হন।
- 0-র উদ্ভবের সময়: SEIR হয়ে যায় SIR।
- সবাই সঙ্গনিরোধে: কেউই কাউকে সংক্রমিত করতে পারেন না, আর প্রাদুর্ভাবটি প্রথম রোগীদের দিয়েই শেষ হয়ে যায়।
আদলটি কোথায় আর ঠিক থাকে না
- অতিছড়ানো। অনেক রোগেই গুটিকয় রোগীই বেশির ভাগ সংক্রমণ ঘটান আর বেশির ভাগ রোগী একটিও নয়। তখন প্রাদুর্ভাব আকস্মিকভাবে আরও বেশি মিলিয়ে যায়, কিন্তু যেগুলো টিকে যায় সেগুলো ফেটে পড়তে পারে।
- গড়ন। মানুষ পরিবারের সদস্য আর সহকর্মীদের সঙ্গেই বারবার মেশেন। গুচ্ছে বাঁধা ছোঁয়াছুঁয়ি এলোমেলো মেশার তুলনায় ছড়ানো ধীর করে আর শেষ মাপ কমিয়ে দেয়, আর বয়সের দল খুবই আলাদাভাবে মেশে।
- চালচলন বদলায়। রোগী বাড়লে মানুষ তাঁদের ছোঁয়াছুঁয়ি কমিয়ে দেন আর কমলে আলগা দেন, তাই R_t আদলের সরল পথটি মেনে চলে না।
- রোগপ্রতিরোধ ফুরিয়ে যায় ইনফ্লুয়েঞ্জা, সাধারণ সর্দি আর কোভিড-19-এ, আর ভাইরাস তা এড়াতে বিবর্তিত হয়; তখন প্রাদুর্ভাব ঢেউয়ে ঢেউয়ে ফিরে আসে, আর তাতে একটি SIRS আদল দরকার।
- অপেক্ষার সময় সূচকীয় নয়। আসল উদ্ভব আর সংক্রামক থাকার সময় তাদের গড়ের চারপাশেই গুচ্ছ হয়ে বসে। তাতে সময় আর চূড়া বদলায়, শেষ মাপ নয়।
- উপসর্গ-ছাড়া আর উপসর্গের-আগে ছড়ানো। সঙ্গনিরোধ কেবল যে রোগীদের খুঁজে পাওয়া যায় তাতেই কাজ করে; উপসর্গের আগে ছড়ানো তা এই আদলের বলা চেয়ে অনেক কম কাজের করে দেয়।
- R₀ একটি রোগজীবাণুর বাঁধা ধর্ম নয়। তা নির্ভর করে মানুষ কীভাবে থাকেন আর মেশেন তার ওপরে, তাই জায়গায় জায়গায় আর পড়াশোনায় পড়াশোনায় আন্দাজ হেরফের করে।
পাশের সরঞ্জাম
একটি মহামারির গোড়ার ওঠা সূচকীয়, যেমন ব্যাকটেরিয়ার বৃদ্ধির সিমুলেটর-এর বাড়া; কোষের দ্বিগুণ হওয়ার সময়ের হিসাব তার দ্বিগুণ হওয়ার সময় খুঁজে দেয়, যেমন কোষের দ্বিগুণ হওয়ার সময় কীভাবে বের করবেন-এ। শতকরার হিসাব রোগীর গোনাকে একটি দলের ভাগে বদলে দেয়। শিকারি আর শিকারের দলের সিমুলেটর খরগোশ ধরা শেয়ালের জন্য একই ভরের ক্রিয়ার ভাবনাই ব্যবহার করে।