স্নেলের সূত্র আর পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন বুঝে নিন (সংকট কোণসহ)

আলো বাঁকে কেন

আলো কাচে কিংবা পানিতে বাতাসের চেয়ে ধীরে চলে। প্রতিসরাঙ্ক n বলে দেয় কতটা: n প্রতিসরাঙ্কের একটি মালে আলো চলে c ÷ n বেগে, তাই পানিতে (n = 1.333) তা প্রতি সেকেন্ডে 300,000-র বদলে প্রায় 225,000 km পেরোয়। একটি আলোকগুচ্ছ একটি সীমানা কোণ করে পার হলে তার এক ধার আগে ধীর মালে পৌঁছায় আর আগেই ধীর হয়ে যায়, আর গুচ্ছটি ঘুরে যায়, যেমন কুচকাওয়াজের একটি সারির এক প্রান্ত কাদায় পা দিলে গোটা সারিটিই ঘুরে যায়। ওই ঘুরে যাওয়াটিই প্রতিসরণ।

স্নেলের সূত্র

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂

θ₁ হলো আপতন কোণ আর θ₂ প্রতিসরণ কোণ, দুটিই অভিলম্ব থেকে মাপা, অর্থাৎ তলটির ওপরে লম্ব রেখাটি থেকে, তল নিজের থেকে নয়।
একটি ঘন মালে ঢুকলে (n₂ > n₁) রশ্মিটি অভিলম্বের দিকে বাঁকে; একটি থেকে বেরোলে তা দূরে সরে বাঁকে।
যে রশ্মি তলে সোজা এসে পড়ে (θ₁ = 0) তা সোজাই পার হয়ে যায়, কেবল ধীরে।

একটি কষে দেখানো উদাহরণ

বাতাসে একটি লেজার অভিলম্ব থেকে 40°-তে ক্রাউন কাচের (n = 1.517) একটি চাঁইয়ে এসে পড়ে।

sin θ₂ = (1.000 ÷ 1.517) × sin 40° = 0.659 × 0.643 = 0.424।
θ₂ = arcsin 0.424 = 25.1°।

সব আলো ভেতরে ঢোকে না। ফ্রেনেল সমীকরণ প্রতিফলিত ভাগটি দেয়; বাতাস থেকে এই কাচে 40°-তে তা প্রায় 4.8%, আর সোজা পড়লে ((n − 1) ÷ (n + 1))² = 4.2%। তাই দুটি তলওয়ালা জানালার একটি কাচের পাত প্রায় 8% প্রতিফলিত করে আর রাতে আপনাকে একটি হালকা প্রতিফলন দেখায়।

সংকট কোণ আর পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন

একটি ঘন মাল থেকে একটি কম ঘন মালে গেলে প্রতিসৃত রশ্মি অভিলম্ব থেকে দূরে সরে বাঁকে, আর যথেষ্ট বড় একটি কোণে তাকে 90°-র বেশিতে বেরোতে হত। তা পারে না, তাই কোনো আলোই বেরোয় না আর তার প্রতিটি কণাই প্রতিফলিত হয়। যে কোণে তা শুরু হয় সেটিই সংকট কোণ:

sin θ_c = n₂ ÷ n₁ (কেবল যখন n₁ > n₂)

পানি থেকে বাতাস: θ_c = arcsin(1 ÷ 1.333) = 48.6°। পানির নিচ থেকে তলের দিকে তাকান আর ওই কোণ পেরোলে তা একটি দর্পণ।
ক্রাউন কাচ থেকে বাতাস: 41.2°। তাই একটি 45° প্রিজম আলো পুরোপুরি প্রতিফলিত করে, একটি রুপোলি দর্পণের চেয়েও ভালো, আর দূরবিন ও পেরিস্কোপ এভাবেই তাদের আলোর পথ ভাঁজ করে।
হিরে থেকে বাতাস: 24.4°। একটি ভালো করে কাটা হিরেতে ঢোকা বেশির ভাগ আলোই ভেতরে আটকে পড়ে আর ঘুরপাক খেয়ে তারপর ওপর দিয়ে বেরোয়, আর ঝিলিকটি ওখান থেকেই আসে।

সংকট কোণের আগেও প্রতিফলিত ভাগটি খাড়াভাবে চড়ে: কাচ থেকে বাতাসে তা সোজা পড়লে 4%, 35°-তে প্রায় 10% আর 41.2°-তে 100%।

ব্রুস্টারের কোণ

tan θ_B = n₂ ÷ n₁-তে (বাতাস থেকে ক্রাউন কাচে 56.6°, পানির ওপরে 53.1°) আপতনের তলে সমবর্তিত আলো একেবারেই প্রতিফলিত হয় না, তাই প্রতিফলিত আলো তলের সমান্তরালে পুরোপুরি সমবর্তিত। সমবর্তক রোদচশমা ওই দিকটি আটকে দেয়, তাই সেগুলো পানি আর রাস্তার ঝলকানি কাটিয়ে দেয়।

প্রিজম আর বিচ্ছুরণ

প্রতিসরাঙ্ক তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ওপরে একটু নির্ভর করে। ক্রাউন কাচে তা 400 nm-এ বেগুনি আলোয় প্রায় 1.531 আর 700 nm-এ লালে 1.513, তাই একটি প্রিজমের প্রতিটি মুখে বেগুনি বেশি বাঁকে আর সাদা আলো একটি বর্ণালিতে ছড়িয়ে পড়ে। কশির সূত্র, n(λ) = A + B ÷ λ², দৃশ্য পরিসর জুড়ে তা ভালোভাবেই বর্ণনা করে, আর সিমুলেশনটি সেটিই ব্যবহার করে। একটি প্রিজমের ভেতর দিয়ে একটি গুচ্ছের বিচ্যুতি সবচেয়ে কম হয় যখন তা প্রতিসমভাবে পার হয়, আর ওই সবচেয়ে কমটিই প্রতিসরাঙ্ক দেয়: n = sin((A + δ_min) ÷ 2) ÷ sin(A ÷ 2), যেখানে A হলো চূড়ার কোণ। একটি 60° ক্রাউন কাচের প্রিজমে δ_min প্রায় 38.6°।

আলোকতন্তু

একটি তন্তু পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলনে আলো আটকে রাখে: একটি কাচের শাঁস, আর তার চারপাশে একটু কম প্রতিসরাঙ্কের একটি আচ্ছাদন। গ্রহণের কোণের ভেতরে প্রান্ত দিয়ে ঢোকা আলো প্রতিবারই পাশের তলে সংকট কোণ পেরিয়ে পড়ে আর কিলোমিটার ধরে বাহিত হয়। সাংখ্যিক মুখটি হলো NA = √(n_শাঁস² − n_{আচ্ছাদন}²) = sin θ_max (বাতাসে)। 1.455 আচ্ছাদনে 1.47-র একটি শাঁস দেয় NA = 0.21 আর প্রায় 12°-র একটি গ্রহণের কোণ।

সিমুলেশনটি ব্যবহার করা

প্রতিসরণ আর পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলনের সিমুলেটর-এ দুটি মাল বেছে নিয়ে কোণটি বসান। গুচ্ছটি, তার হালকা প্রতিফলন আর অভিলম্বটি আঁকা হয়, আর গুচ্ছ ধরে ছুটে চলা ফুটকিগুলো প্রতিটি মালে n গুণকেই ধীর হয়ে যায়। লেখচিত্রটি দুটি সমবর্তনেই কোণের বিপরীতে প্রতিফলিত ভাগটি আঁকে, আর এখনকার কোণ, ব্রুস্টারের কোণ আর যেকোনো সংকট কোণ দাগিয়ে দেয়। এগুলো দেখে নিন:

পানি থেকে বাতাস, তারপর কোণটি ঘুরিয়ে দেখুন: প্রতিসৃত গুচ্ছটি তল ধরে শুয়ে পড়ে আর 48.6°-তে মিলিয়ে যায়।
সাদা আলো নিয়ে প্রিজমটি: সবচেয়ে কম বিচ্যুতিটি পড়ে নিন, তারপর ফ্লিন্ট কাচের বদলে ক্রাউন কাচ নিয়ে বর্ণালিটি চওড়া হতে দেখুন।
কাচের চারপাশে পানি নিয়ে তন্তুটি 30°-তে, তারপর 80°-তে: গ্রহণের কোণ পেরোলে আলো পাশ দিয়ে চুইয়ে বেরিয়ে যায়।

আদলটি যা ধরে নেয়

রশ্মি। আলোকে সরলরেখায় চলা সরু রশ্মি হিসেবেই ধরা হয়। সেটিই জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান, যা নিখুঁত যখন আলো যা যা পায় তার সবই তার তরঙ্গদৈর্ঘ্যের (প্রায় আধা মাইক্রোমিটার) চেয়ে অনেক বড়।
দুটি সমান, স্বচ্ছ মালের মাঝে সমান, পরিষ্কার, তীক্ষ্ণ সীমানা, আর তাদের ভেতরে কোনো শোষণ কিংবা বিক্ষেপণ নেই। যে আলো প্রতিফলিত হয় না তা সবই এগিয়ে চলে।
প্রতিফলিত ভাগের জন্য অসমবর্তিত আলো, অর্থাৎ দুটি সমবর্তনের গড়; লেখচিত্র প্রত্যেকটি আলাদা করে দেখায়।
কশির সূত্র থেকে প্রতিসরাঙ্ক, যা 20 °C-এ প্রতিটি মালের চলতি মানে বসানো। আসল কাচ ধরনে ধরনে আর দফায় দফায় তৃতীয় দশমিক ঘরে হেরফের করে।
একটি প্রিজম কিংবা তন্তুর ভেতর দিয়ে কেবল মূল গুচ্ছটিই অনুসরণ করা হয়, আর তার সঙ্গে প্রথম প্রতিফলনটি। সত্যিই প্রতিটি তলই আরও কয়েক শতাংশ ফিরিয়ে পাঠায়, যা হালকা ছায়া-গুচ্ছ বানায়, যা সিমুলেশনটি আঁকে না।
তন্তুটি হলো আপনি যে মালটিকে প্রথম বাছেন তার ভেতরে শাঁসটি, যা আচ্ছাদনের জায়গা নেয়, তাই চারপাশে বাতাস থাকলে গ্রহণের কোণ 90°। একটি বাস্তব, সীমায় বাঁধা গ্রহণের কোণ দেখতে কাচের চারপাশে পানি বেছে নিন।

কিনারার বেলা

θ₁ = 0: গুচ্ছটি না বেঁকেই সোজা পার হয়ে যায়, আর ওই মালজোড়ার জন্য প্রতিফলিত ভাগটি তার সবচেয়ে কমে থাকে।
সমান প্রতিসরাঙ্ক: সীমানায় কিছুই হয় না, বাঁকাও নেই, প্রতিফলনও নেই। একই প্রতিসরাঙ্কের তেলে একটি কাচের দণ্ড মিলিয়ে যায়, আর একটি কাচের প্রতিসরাঙ্ক পরখ করতে এই কৌশলটিই ব্যবহার হয়।
ঠিক সংকট কোণে প্রতিসৃত রশ্মি তল ধরে চলে আর কোনো শক্তিই বয় না; তার একটি চুল পরেই প্রতিফলন পূর্ণ।
90°-র কাছে (ছুঁয়ে যাওয়া আপতনে) যেকোনো তল থেকেই প্রায় সব আলোই প্রতিফলিত হয়, বাতাস থেকে কাচেও, তাই একটি রাস্তা কিংবা একটি হ্রদ তার বরাবর তাকালে দর্পণের মতো দেখায়।
খাড়া চূড়ার কোণে একটি প্রিজম কিংবা একটি উঁচু প্রতিসরাঙ্ক: গুচ্ছটি দ্বিতীয় মুখে সংকট কোণ পেরিয়ে পড়ে আর বেরোনোর বদলে প্রিজমের ভেতরেই ফিরে আসে, আর কোনো সবচেয়ে কম বিচ্যুতিও থাকে না।

আদলটি কোথায় আর ঠিক থাকে না

ছোট জিনিস। চির, গ্রেটিং, ফোঁটা আর কেবল কয়েক তরঙ্গদৈর্ঘ্য চওড়া তন্তু আলো অপবর্তিত করে, যা রশ্মি দিয়ে বর্ণনা করা যায় না; দুই-চিরের পরীক্ষার সিমুলেটর তরঙ্গের ছবিটি দেখায়। আসল এক-মোডের টেলিকম তন্তুর শাঁস প্রায় 9 µm আর সেগুলোকে তরঙ্গপথ হিসেবেই ধরতে হয়।
ব্যর্থ পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন। পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলনেও একটি দুর্বল ক্ষীয়মাণ তরঙ্গ তল পেরিয়ে প্রায় এক তরঙ্গদৈর্ঘ্য পর্যন্ত পৌঁছায়। আরেকটি কাচের টুকরো ততটা কাছে আনুন আর আলো সুড়ঙ্গ কেটে পার হয়ে যায়, যা রশ্মির আলোকবিজ্ঞান বলে হতেই পারে না।
শোষক আর ধাতব মালের প্রতিসরাঙ্ক জটিল, আর এখানে ব্যবহার করা সরল ফ্রেনেল সূত্র সেগুলোতে খাটে না। একটি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ভগ্নাংশ মোটা প্রলেপ, যেমন প্রতিফলন-ঠেকানো স্তর, ব্যতিচারে কাজ করে, যা সিমুলেশনটিতে ধরা নেই।
দৃশ্যের বাইরের তরঙ্গদৈর্ঘ্য। শোষণের পটির কাছে, অতিবেগুনি আর অবলোহিতে কশির সূত্র ব্যর্থ হয়, যেখানে প্রতিসরাঙ্ক তীক্ষ্ণভাবে বদলায়; ওখানে বদলে জেলমায়েরের সমীকরণ ব্যবহার হয়।
অসমান মাল। বদলে যাওয়া তাপমাত্রার বাতাস, যেমন একটি গরম রাস্তার ওপরে, এমন একটি প্রতিসরাঙ্ক রাখে যা ধীরে ধীরে বদলায়, তাই আলো একটি তলে বাঁকার বদলে বেঁকে যেতে থাকে, আর মরীচিকা বানায়। সিমুলেশনটিতে কেবল তীক্ষ্ণ সীমানাই আছে।
ক্যালসাইটের মতো কেলাস দ্বিপ্রতিসরী: তাদের প্রতিসরাঙ্ক সমবর্তন আর দিকের ওপর নির্ভর করে, আর একটি রশ্মি ভেঙে দুটি হয়ে যায়।

পাশের সরঞ্জাম

লেন্স আর দর্পণের রশ্মিচিত্রের সিমুলেটর প্রতিবিম্ব বানাতে বাঁকা তলে প্রতিসরণ ব্যবহার করে, আর সরু লেন্সের সমীকরণটি কষে দেখায়।

স্নেলের সূত্র, প্রতিসরণ আর পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন

আলো বাঁকে কেন