গলটন বোর্ডের সিমুলেটর
এই সিমুলেশনের সমীকরণ
| n | চিভির সারি, বা ছক্কার সংখ্যা, n | প্রতিটি সারি একটি হ্যাঁ-না পরীক্ষা: ডানে না বাঁয়ে | |
|---|---|---|---|
| p | ডানে যাওয়ার সম্ভাবনা p | প্রতিটি চিভিতেই একই, আর প্রতিটি ধাক্কা আগেরটির থেকে স্বাধীন | |
| k | ডানে যত ধাক্কা | বল কোন খোপে পড়ে, বাঁ থেকে গুনে; C(n, k) হলো সেখানে শেষ হওয়া পথের সংখ্যা | |
| P(k) | k খোপে পড়ার দ্বিপদ সম্ভাবনা | মাঝের খোপগুলোতে যাওয়ার পথ অনেক বেশি, তাই সেগুলোই ভরে ওঠে |
এখনকার মানগুলো দিয়ে:
| μ | প্রত্যাশিত গড় | যে খোপের চারপাশে স্তূপটি গড়ে ওঠে | |
|---|---|---|---|
| σ | প্রত্যাশিত পরিমিত ব্যবধান | কেবল n-এর বর্গমূলের সঙ্গে বাড়ে, তাই সারি বাড়লে স্তূপটি তুলনামূলকভাবে সরু হয় |
এখনকার মানগুলো দিয়ে:
| f | একই μ ও σ-যুক্ত স্বাভাবিক লেখচিত্র | n p ও n (1 − p) দুটোই প্রায় 5-এর ওপরে হলে এটি দ্বিপদের ভালো বিকল্প; p 0 বা 1-এর কাছে আর সারি কম হলে স্তূপটি একদিকে হেলে যায় আর লেখচিত্র খাপ খায় না |
|---|
এখনকার মানগুলো দিয়ে:
| O, E | প্রতিটি খোপে পর্যবেক্ষিত ও প্রত্যাশিত সংখ্যা | যে খোপে 5-এর কম বল প্রত্যাশিত, সেগুলো আগে পাশের খোপের সঙ্গে জুড়ে দেওয়া হয় | |
|---|---|---|---|
| χ² | কাই-বর্গ রাশি | স্তূপটি দ্বিপদ থেকে কতটা দূরে; p-মান হলো কেবল ভাগ্যেই অন্তত এত বড় ফারাক হওয়ার সম্ভাবনা |
এখনকার মানগুলো দিয়ে:
| n ছক্কা | চিভির সারি, বা ছক্কার সংখ্যা, n | একটি ছক্কার বিন্যাস সমান, দুটিতে ত্রিভুজ, আর পাঁচ-ছয়টিতেই যোগফল দেখতে ঘণ্টার মতো লাগে: কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য |
|---|
এখনকার মানগুলো দিয়ে:
| N | এ পর্যন্ত ফেলা বল | N বাড়তে বাড়তে নমুনা গড় μ থেকে ক্রমে কম সরে, যা সময়ের সঙ্গে গড়ের লেখচিত্রে দেখা যায় |
|---|
এখনকার মানগুলো দিয়ে:
গলটন বোর্ডের সিমুলেটরটি কীভাবে ব্যবহার করবেন
- বল ওপর থেকে পড়ে আর প্রতিটি খিলে বাঁয়ে বা ডানে লাফিয়ে যায়। প্রত্যেকটি এমন একটি ঘরে গিয়ে পড়ে, যা গোনে সে কতবার ডানে গেছে, আর দণ্ডগুলো একটি ঘণ্টার আকারে বেড়ে ওঠে। ছেদরেখাটি ঠিকঠিক দ্বিপদী বিন্যাস আর সবুজ বাঁকটি একই গড় ও পরিমিত ব্যবধানের স্বাভাবিক বিন্যাস।
- সারির সংখ্যা আর ডানে লাফানোর সম্ভাবনা বদলে দিন, যা বোর্ডটি খালি করে আবার শুরু করে। p 0.5 থেকে অনেক দূরে আর সারি কম হলে জমা বলগুলো একদিকে হেলে থাকে আর স্বাভাবিক বাঁকটি খারাপভাবে বসে; আরও সারি দিলে তা আবার একটি ঘণ্টাই হয়ে যায়। কাই-বর্গ পরীক্ষা আর তার p-মান বলে দেয় জমা বলগুলো দ্বিপদীর সঙ্গে মেলে কি না, আর সময় ধরে লেখচিত্রগুলো দেখায় আরও বল পড়ার সঙ্গে নমুনার গড়টি থিতিয়ে আসছে।
- “ছক্কার যোগফল”-এ যান: একটি ছক্কা দেয় একটি সমান বিন্যাস আর দুটি দেয় একটি ত্রিভুজ, তবে পাঁচ-ছয়টি ছক্কাতেই যোগফলটি ঘণ্টার আকার নিয়ে নেয় — কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য। ছক্কা ফেলুন দিয়ে সত্যিকারের ছক্কা ফেলুন, আর নিজের তথ্য থেকে একটি গড় ও পরিমিত ব্যবধান বের করুন পরিমিত ব্যবধানের হিসাব দিয়ে।
সাধারণ প্রশ্ন
গলটন বোর্ড কী?
এলোমেলো সারিতে বসানো খিলের একটি বোর্ড, যা ফ্রান্সিস গলটন 1870-এর দশকে বানিয়েছিলেন, আর যাকে বিন মেশিন বা কুইনকাংক্সও বলা হয়। প্রতিটি বল প্রতিটি সারিতে বাঁ-কি-ডান একটি বাছাই করে, তাই সে যে ঘরে গিয়ে পড়ে তা তার ডানে যাওয়ার সংখ্যা গোনে, আর তলার জমা বলগুলো দ্বিপদী বিন্যাস মেনে চলে। অনেক সারি থাকলে তা দেখতে স্বাভাবিক বাঁকের মতোই লাগে।
বলগুলো মাঝখানে জমে ওঠে কেন?
ধারের ঘরের চেয়ে মাঝের ঘরগুলোতে পৌঁছানোর পথ অনেক বেশি। 12 সারিতে সবচেয়ে বাঁয়ের ঘরে পৌঁছানোর পথ মাত্র একটি — সবই বাঁয়ে — কিন্তু মাঝের ঘরটিতে পৌঁছানোর পথ 924টি আলাদা। সম্ভাবনা সমান হলে প্রতিটি পথের সম্ভাবনাও সমান, তাই মাঝের ঘরটি একটি প্রান্তের ঘরের 924 গুণ বল পায়: k নম্বর ঘরে পৌঁছানোর C(n, k)টি উপায়।
কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য কী?
অনেক স্বাধীন এলোমেলো রাশির যোগফল (বা গড়) একটি স্বাভাবিক বিন্যাসের দিকে এগোয়, প্রত্যেকটির বিন্যাস যা-ই হোক, যতক্ষণ তার ছড়ানোটা সসীম। প্রতিটি খিল হলো যোগ-বা-বিয়োগ এক ধাপের একটি ছোট্ট এলোমেলো পদক্ষেপ, আর ছক্কাগুলো নিজেরা সমান, তবু দুটিই যোগ হয়ে একটি ঘণ্টা-বাঁক দেয়। সেই কারণেই মাপজোকে স্বাভাবিক বিন্যাস এত ঘন ঘন উঠে আসে।
জমা বলগুলো ঠিক দেখাতে কতগুলো বল লাগে?
প্রতিটি ঘরে এলোমেলো ছড়ানোটা প্রায় তার গণনার বর্গমূল, তাই যে ঘরে 100 বল আশা করা হয় তা সাধারণত 10 (10%) এলোমেলো হয়, আর যেখানে 10,000 আশা করা হয় তা 100 (1%)। কয়েক শত বলেই আকারটি দেখা যায়; তা মসৃণ দেখাতে হাজার হাজার লাগে। একটি ন্যায্য বোর্ডে কাই-বর্গের p-মান 0 আর 1-এর মধ্যে যেকোনো জায়গাতেই পড়া উচিত, আর কুড়িবারে একবারের মতো 0.05-এর নিচে।
বলছে WebGL বন্ধ আছে।
3D দৃশ্যটির জন্য WebGL দরকার, যা আজকের প্রতিটি ব্রাউজারেই আছে। ব্রাউজারের সেটিংসে হার্ডওয়্যার ত্বরণ বন্ধ থাকলে, কিংবা গ্রাফিক্সের ড্রাইভার খুব পুরোনো হলে তা বন্ধ হয়ে থাকতে পারে। হার্ডওয়্যার ত্বরণ চালু করুন, কিংবা অন্য একটি ব্রাউজার দিয়ে দেখুন।
কিছু কি আপলোড হয়?
না। সিমুলেশনটি আপনার নিজের ব্রাউজারই WebGL দিয়ে আঁকে; কিছুই কোথাও পাঠানো হয় না, আর পাতাটি একবার লোড হয়ে গেলে তা অফলাইনেও চলতে থাকে।