شرح مبدأ برنولي: الاستمرارية ومقاييس فنتوري والاحتكاك في الأنابيب

الاستمرارية: ما يدخل يجب أن يخرج

السائل لا يكاد ينضغط، ففي أنبوب بلا تسرب يجب أن يمر الحجم نفسه عبر كل مقطع كل ثانية. ومعدل التدفق هو المقطع مضروبًا في السرعة المتوسطة، أي

Q = A₁ v₁ = A₂ v₂، مع A = π D² ÷ 4

حيث يضيق الأنبوب، يتسارع المائع بنسبة المساحتين، وهي مربع نسبة القطرين. إن خفّضت القطر إلى النصف، تتضاعف السرعة أربع مرات. ولهذا يصل الماء أبعد حين تسد فوهة الخرطوم بإبهامك.

معادلة برنولي

تسريع المائع يكلّف طاقة، وفي التدفق المستقر بلا احتكاك تأتي تلك الطاقة من الضغط. أثبت دانيال برنولي في 1738 أنه على امتداد خط انسياب،

P + ½ ρ v² + ρ g z = ثابت

• P الضغط، الشغل الذي يبذله المائع الخلفي بدفع الأمامي.
• ½ρv² الطاقة الحركية لكل وحدة حجم، وتُسمى أحيانًا الضغط الديناميكي.
• ρgz طاقة الوضع لكل وحدة حجم عند الارتفاع z.

فحيث يكون المائع أسرع، أو أعلى، يكون ضغطه أقل. إنه حفظ الطاقة مكتوبًا لكل متر مكعب من المائع.

مثال محلول

ماء (ρ = 998 kg/m³) يجري بمعدل 10 L/s في أنبوب 10 cm يضيق إلى 5 cm ثم يصعد 1 m. والضغط عند المدخل 150 kPa فوق الضغط الجوي.

1. المساحتان: A₁ = π × 0.1² ÷ 4 = 0.00785 m²، ‏A₂ = 0.00196 m².
2. السرعتان: v₁ = 0.010 ÷ 0.00785 = 1.27 m/s، ‏v₂ = 0.010 ÷ 0.00196 = 5.09 m/s.
3. الضغط في الاختناق: ½ × 998 × (5.09² − 1.27²) = 12.1 kPa أقل، أي 137.9 kPa.
4. بعد الصعود، في الأنبوب ذي 10 cm مجددًا: تعود السرعة 1.27 m/s، فالتغير الوحيد عن المدخل ρgh = 998 × 9.81 × 1 = 9.8 kPa، فيبقى 140.2 kPa.

يُسترد الضغط بعد الاختناق: دون احتكاك لا يضيع شيء، بل تحول إلى سرعة ثم عاد.

مقياس فنتوري

اقلب المثال: قِس هبوط الضغط بين الأنبوب والاختناق، فتعطي الاستمرارية وبرنولي معًا معدل التدفق،

Q = A₂ √(2 ΔP ÷ (ρ (1 − (A₂ ÷ A₁)²)))

مع ΔP = 12.1 kPa نحصل على 10 L/s. تقيس مقاييس فنتوري التدفق في شبكات المياه والأنابيب الصناعية بلا أجزاء متحركة؛ والحقيقية منها تضرب في معامل تصريف نحو 0.98 لحساب الاحتكاك. والمبدأ نفسه يُشغّل المكربنات ومسدسات الطلاء وأقنعة فنتوري التي تخلط الأكسجين بالهواء في المستشفيات.

اللزوجة وعدد رينولدز

الموائع الحقيقية لزجة: تلتصق بالجدار، فتكون السرعة عنده صفرًا وفي المركز قصوى. وسلوك التدفق يعتمد على عدد رينولدز،

Re = ρ v D ÷ μ

حيث μ اللزوجة. تحت نحو 2,300، يكون التدفق في أنبوب صفائحيًا: طبقات ملساء تنزلق بعضها فوق بعض، بمقطع سرعة مكافئي يسير مركزه بضعف المتوسط. وفوق نحو 4,000 يكون مضطربًا: دوامات فوضوية تخلط المائع وتسطّح المقطع. وبينهما يتناوب بين هذا وذاك. الماء بسرعة 1.27 m/s في أنبوب 10 cm له Re = 127,000، مضطرب بوضوح؛ والعسل (μ نحو 10 Pa·s) بسرعة 0.3 m/s في أنبوب 2 cm له Re نحو 1.

فواقد الاحتكاك

تحوّل اللزوجة جزءًا من طاقة التدفق إلى حرارة، فيتناقص P + ½ρv² + ρgz على طول الأنبوب. وتعطي معادلة دارسي-فايسباخ الفقد على طول L:

ΔP = f (L ÷ D) ½ ρ v²

• صفائحي: f = 64 ÷ Re، وهو قانون هاغن-بوازوي، ΔP = 8 μ L Q ÷ (π R⁴). يزداد الفقد مع القوة الرابعة للضيق: تخفيض نصف القطر إلى النصف يتطلب ضغطًا أكبر بست عشرة مرة.
• مضطرب، أنبوب أملس: f ≈ 0.316 Re^−1/4 (بلاسيوس). لأنبوب الماء ذي 10 cm، ‏f = 0.017 والفقد نحو 0.14 kPa لكل متر؛ وفي الاختناق ذي 5 cm، نحو 3.6 kPa لكل متر.

العسل بمعدل 0.1 L/s في أنبوب 2 cm يفقد نحو 255 kPa لكل متر، ولهذا تحتاج السوائل الثخينة أنابيب عريضة ومضخات قوية.

كيف تستخدم المحاكاة

في محاكي تدفق الموائع ومبدأ برنولي، اضبط معدل التدفق والأقطار والارتفاع وضغط المدخل، واقرأ الأعمدة فوق المقاطع A وB وC. أشياء تجربها:

• اخفض قطر الاختناق من 10 cm إلى 5 cm: تتضاعف السرعة فيه أربع مرات ويصبح الهبوط أكبر بست عشرة مرة.
• اجعل الارتفاع سالبًا: يصبح المخرج أخفض وضغطه أكبر من ضغط المدخل.
• ضيّق الممر إلى 2 cm مع 10 L/s: كان الضغط هناك سينزل تحت ضغط بخار الماء، فتنبّه المحاكاة إلى التكهف.
• حدد «احسب الاحتكاك» وانتقل إلى العسل: يصبح المقطع قطعًا مكافئًا، وRe نحو 1، وينهار الخط المتقطع للطاقة الكلية.

ما يفترضه النموذج

• تدفق مستقر وغير قابل للانضغاط. لا يتغير معدل التدفق مع الزمن والكثافة ثابتة، حتى للهواء.
• سرعة واحدة لكل مقطع. تُطبق معادلة برنولي على السرعة المتوسطة؛ ومقطع السرعة لا يغيّر إلا طريقة تحرك النقاط.
• احتكاك بصيغ الأنبوب المستقيم، مكاملة على طول الأنبوب: 64 ÷ Re للتدفق الصفائحي، وبلاسيوس للمضطرب في أنبوب أملس، وخط مستقيم بينهما من Re ‏2,300 إلى 4,000.
• بلا فواقد موضعية. الاختناق والاتساع نفسيهما لا يفقدان شيئًا إضافيًا.
• خصائص ثابتة عند نحو 20 °C: الماء 998 kg/m³ و1.0 mPa·s، وزيت الزيتون 911 kg/m³ و81 mPa·s، والغليسرين 1,260 kg/m³ و1.41 Pa·s، والعسل 1,420 kg/m³ ونحو 10 Pa·s، والهواء 1.2 kg/m³ و18 µPa·s.
• أعمدة مبالغ فيها. تُظهر الارتفاعات الفروق بين نقاط القياس ممطوطة لتتسع، فهي ليست بمقياس واحد؛ والتسميات تعطي الضغوط الحقيقية.

الحالات الحدية

• اختناق بعرض الأنبوب: لا تسارع ولا هبوط، ولا يجد مقياس فنتوري ما يقيسه.
• اختناق أعرض من الأنبوب: يتباطأ المائع ويرتفع الضغط، وهو مبدأ الناشر.
• ضغط منخفض جدًا: لو نزل الضغط المطلق تحت ضغط البخار (2.3 kPa للماء عند 20 °C)، لغلى السائل مكوّنًا فقاعات تنهار بعنف في اتجاه المصب. وهذا التكهف يُتلف مراوح السفن ودوّارات المضخات.
• ضغط مطلق سالب مستحيل لسائل في أنبوب؛ فمعدل التدفق الذي تطلبه لا يمكن أن يتحقق بضغط المدخل ذاك.

أين يتوقف النموذج عن الصلاحية

• الاتساعات المفاجئة تفقد طاقة كثيرة في الدوامات: فقد بوردا-كارنو، ½ρ(v₁ − v₂)²، نحو 7.3 kPa إن انفتح اختناق المثال فجأة على الأنبوب. والمخاريط اللطيفة، كالمرسومة، تسترد معظمها، ولهذا لمقاييس فنتوري مخارج طويلة مخروطية.
• التدفق القابل للانضغاط. فوق ثلث سرعة الصوت (نحو 100 m/s في الهواء)، تنضغط الغازات بشكل ملحوظ وتقلل معادلة برنولي بهذه الصيغة من تقدير تغيرات الضغط؛ وقرب ماخ 1 يختنق التدفق.
• الأنابيب الخشنة وأعداد رينولدز العالية جدًا. لا تصلح بلاسيوس إلا حتى Re نحو 100,000 في الأنابيب الملساء؛ والأنابيب الحقيقية تحتاج معادلة كولبروك أو مخطط مودي مع خشونة الجدار.
• التدفق غير المستقر. إغلاق صمام فجأة يرسل موجة ضغط عكس الأنبوب (المطرقة المائية) أكبر بكثير من أي قيمة مستقرة.
• الموائع غير النيوتنية، كالدم والكاتشب والطلاء، تتغير لزوجتها بحسب سرعة قصها، ولزوجة العسل تعتمد كثيرًا على حرارته ومحتواه من الماء.
• رفع الأجنحة. تصف معادلة برنولي الضغط الأقل فوق الجناح، لكنها وحدها لا تفسر لماذا يسير الهواء أسرع هناك؛ وتفسير «زمن العبور المتساوي» خاطئ.

الحاسبات

احسب معدلات التدفق والسرعات وهبوط الضغط في أنابيب حقيقية بـ حاسبة التدفق في الأنابيب، وتحقق هل التدفق صفائحي بـ حاسبة عدد رينولدز، وحوّل بين اللترات والغالونات والأمتار المكعبة بـ محوّل الحجم. ويشرح كيف تحسب معدل التدفق وفقد الضغط في أنبوب الحساب يدويًا.