محاكي لوح غالتون
المعادلات في هذه المحاكاة
| n | صفوف الأوتاد، أو عدد أحجار النرد، n | كل صف تجربة واحدة بنعم أو لا: ارتداد يمينًا أو يسارًا | |
|---|---|---|---|
| p | احتمال الارتداد يمينًا p | هو نفسه عند كل وتد، وكل ارتداد مستقل عن السابق | |
| k | عدد الارتدادات يمينًا | الحاوية التي تسقط فيها الكرة، بالعدّ من اليسار؛ C(n, k) هو عدد المسارات التي تنتهي هناك | |
| P(k) | الاحتمال الثنائي للسقوط في الحاوية k | الحاويات الوسطى تقود إليها مسارات أكثر بكثير، ولهذا تمتلئ |
بالقيم الحالية:
| μ | المتوسط المتوقع | الحاوية التي يتمركز حولها الكوم | |
|---|---|---|---|
| σ | الانحراف المعياري المتوقع | يزداد فقط مع الجذر التربيعي لـ n، فمع صفوف أكثر يكون الكوم أضيق نسبيًا |
بالقيم الحالية:
| f | منحنى طبيعي بنفس μ وσ | بديل جيد للتوزيع الثنائي عندما يكون n p وn (1 − p) كلاهما فوق نحو 5؛ عندما يقترب p من 0 أو 1 وتقل الصفوف يكون الكوم مائلًا ولا يناسبه المنحنى |
|---|
بالقيم الحالية:
| O, E | الأعداد المرصودة والمتوقعة في كل حاوية | الحاويات المتوقع أن تحوي أقل من 5 كرات تُدمج مع جاراتها أولًا | |
|---|---|---|---|
| χ² | إحصاء مربع كاي | مدى بُعد الكوم عن التوزيع الثنائي؛ قيمة p هي احتمال وجود فجوة بهذا الحجم على الأقل بالصدفة وحدها |
بالقيم الحالية:
| n من النرد | صفوف الأوتاد، أو عدد أحجار النرد، n | حجر نرد واحد مسطح، واثنان يصنعان مثلثًا، وبحلول خمسة أو ستة يبدو المجموع جرسًا بالفعل: مبرهنة النهاية المركزية |
|---|
بالقيم الحالية:
| N | الكرات التي سقطت حتى الآن | يبتعد متوسط العينة عن μ أقل فأقل مع ازدياد N، كما يظهر مخطط المتوسط عبر الزمن |
|---|
بالقيم الحالية:
كيف تستخدم محاكي لوح غالتون
- تسقط الكرات من الأعلى وترتد يسارًا أو يمينًا عند كل مسمار. كل منها يقع في خانة تعدّ كم مرة ذهب إلى اليمين، وتكبر الأعمدة حتى تكوّن جرسًا. الخط المتقطع هو التوزيع ذو الحدين الدقيق والمنحنى الأخضر التوزيع الطبيعي بالمتوسط والانحراف المعياري نفسيهما.
- غيّر عدد الصفوف واحتمال الارتداد إلى اليمين، وهذا يفرغ اللوح ويبدأ من جديد. مع p بعيد عن 0.5 وصفوف قليلة تكون الكومة مائلة ولا يتطابق المنحنى الطبيعي جيدًا؛ ومع صفوف أكثر تعود جرسًا. ويبين اختبار مربع كاي وقيمة p إن كانت الكومة متوافقة مع ذي الحدين، وتبين الرسوم الزمنية كيف يستقر متوسط العينة كلما سقطت كرات أكثر.
- انتقل إلى مجموع النرد: نرد واحد يعطي توزيعًا مستويًا واثنان مثلثًا، لكن مع خمسة أو ستة يصبح للمجموع شكل جرس بالفعل، وهذه مبرهنة النهاية المركزية. ارمِ نردًا حقيقيًا بـ رامي النرد واحسب متوسط بياناتك وانحرافها المعياري بـ حاسبة الانحراف المعياري.
الأسئلة الشائعة
ما لوح غالتون؟
لوح من المسامير في صفوف متعاقبة، اخترعه فرانسيس غالتون في سبعينيات القرن التاسع عشر ويُسمى أيضًا آلة الفاصوليا أو quincunx. كل كرة تختار اليسار أو اليمين في كل صف، فتعدّ الخانة التي تقع فيها ارتداداتها إلى اليمين، وتتبع الكومة في الأسفل التوزيع ذا الحدين. ومع صفوف كثيرة تشبه المنحنى الطبيعي.
لماذا تتكدس الكرات في الوسط؟
هناك مسارات إلى الخانات الوسطى أكثر بكثير من الحواف. مع 12 صفًا، مسار واحد فقط، كله إلى اليسار، يقود إلى الخانة في أقصى اليسار، لكن 924 مسارًا مختلفًا تقود إلى الخانة الوسطى. ومع احتمالات متساوية يكون كل مسار مرجحًا بالقدر نفسه، فتتلقى الخانة الوسطى كرات أكثر بـ 924 مرة من خانة طرفية: C(n, k) طريقة للوصول إلى الخانة k.
ما مبرهنة النهاية المركزية؟
مجموع (أو متوسط) كميات عشوائية مستقلة كثيرة يقترب من توزيع طبيعي، مهما كان توزيع كل منها، ما دام تشتته منتهيًا. كل مسمار خطوة عشوائية صغيرة بزائد أو ناقص واحد، والنرد وحده مستوٍ، لكن كليهما يُجمع إلى جرس. ولهذا يظهر التوزيع الطبيعي كثيرًا في القياسات.
كم كرة يلزم لتبدو الكومة جيدة؟
التشتت العشوائي في كل خانة يساوي تقريبًا الجذر التربيعي لعددها، فالخانة التي تتوقع 100 كرة تنحرف عادةً بـ 10 (10%)، والتي تتوقع 10,000 بـ 100 (1%). بضع مئات من الكرات تبين الشكل؛ ويلزم الآلاف ليبدو ناعمًا. في لوح عادل، يجب أن تقع قيمة p لمربع كاي في أي نقطة بين 0 و1، وتحت 0.05 مرة من كل عشرين.
تقول إن WebGL معطّل.
يحتاج العرض ثلاثي الأبعاد إلى WebGL، وهو موجود في كل المتصفحات الحالية. قد يكون معطّلًا إن كان تسريع العتاد مطفأً في إعدادات المتصفح، أو بسبب برنامج تشغيل رسومي قديم جدًا. فعّل تسريع العتاد أو جرّب متصفحًا آخر.
هل يُرفع أي شيء؟
لا. يرسم متصفحك نفسه المحاكاة بـ WebGL؛ لا يُرسل شيء إلى أي مكان، وتستمر في العمل دون اتصال بعد تحميل الصفحة.