重要なポイント
一定の速さで円運動する物体は、常に中心に向かって加速している。惑星や人工衛星では重力がその向心力を与え、円運動と軌道を結びつける。
- 向心加速度は v² ÷ r、中心向きの合力は mv² ÷ r である。これは別の力ではなく、中心に向かってはたらく力の呼び名である。
- 向きが変わるので、速さが一定でも速度は変化する。
- 重力は中心からの距離の 2 乗に反比例して弱まるので g = GM ÷ r² となる。
- 円軌道では v = √(GM ÷ r) となり、衛星の質量に依存しない。脱出速度はその √2 倍である。
主な式
a_c = v² ÷ rF_c = mv² ÷ rF = Gm₁m₂ ÷ r²g = GM ÷ r²v = √(GM ÷ r)v_esc = √(2GM ÷ r)T = 2πr ÷ v
例題
地表から 400 km 上空を人工衛星が周回している。r = 6.37 × 10⁶ + 0.40 × 10⁶ = 6.77 × 10⁶ m、GM = 3.99 × 10¹⁴ m³/s² とすると、v = √(GM ÷ r) = √(5.89 × 10⁷) = 7.7 × 10³ m/s。周期は T = 2πr ÷ v = 5.5 × 10³ s で、約 92 分である。
よくある間違い
- 自由物体図に、重力や張力とは別に向心力をもう 1 つの力として描くこと。
- 重力の式で、惑星の中心からの距離ではなく地表からの高さを使うこと。
- 宇宙飛行士が浮くのは重力がないからだと考えること。地球のまわりを自由落下しているから浮く。
練習
このトピックの練習問題で力試しをしましょう:円運動と万有引力