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원운동과 중력: 학습 가이드

핵심 개념

일정한 속력으로 원운동하는 물체는 항상 중심을 향해 가속된다. 행성과 위성에서는 중력이 그 안쪽 방향의 힘을 공급하며, 이것이 원운동과 궤도를 이어 준다.

  • 구심 가속도는 v² ÷ r이고 중심 방향의 알짜힘은 mv² ÷ r이다. 별개의 힘이 아니라 중심을 향하는 힘이 무엇이든 그것을 부르는 이름이다.
  • 방향이 바뀌므로 속력이 일정해도 속도는 변한다.
  • 중력은 중심으로부터 거리의 제곱에 따라 약해지므로 g = GM ÷ r²이다.
  • 원 궤도에서는 v = √(GM ÷ r)이며 위성의 질량에 의존하지 않는다. 탈출 속력은 그것의 √2배이다.

핵심 식

  • a_c = v² ÷ r
  • F_c = mv² ÷ r
  • F = Gm₁m₂ ÷ r²
  • g = GM ÷ r²
  • v = √(GM ÷ r)
  • v_esc = √(2GM ÷ r)
  • T = 2πr ÷ v

풀이 예제

인공위성이 지표면 위 400 km에서 지구를 돈다. r = 6.37 × 10⁶ + 0.40 × 10⁶ = 6.77 × 10⁶ m, GM = 3.99 × 10¹⁴ m³/s²로 놓으면 v = √(GM ÷ r) = √(5.89 × 10⁷) = 7.7 × 10³ m/s이다. 주기는 T = 2πr ÷ v = 5.5 × 10³ s로 약 92분이다.

자주 하는 실수

  • 자유 물체 도형에 중력이나 장력 외에 구심력을 추가 힘으로 그리는 것.
  • 중력 식에서 행성 중심으로부터의 거리 대신 지표면 위의 높이를 쓰는 것.
  • 우주 비행사가 중력이 없어서 떠 있다고 생각하는 것. 지구 주위를 자유 낙하하고 있어서 떠 있는 것이다.

연습

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