振動:学習ガイド

重要なポイント

単振動する系は、変位に比例した復元力が平衡位置へ引き戻すので、往復運動をする。運動は一定の周期で繰り返される。

• 周期 T は 1 回の振動にかかる時間で、振動数は f = 1 ÷ T、角振動数は ω = 2πf である。
• ばねに付けた質量では T = 2π√(m ÷ k)、小さな角度の振り子では T = 2π√(L ÷ g) である。どちらも振幅に依存しない。
• 全エネルギー ½kA² は一定で、運動エネルギーと位置エネルギーの間でやり取りされる。速さは中心で最大、端で 0 になる。
• 加速度は復元力が最大になる運動の端で最大になる。

主な式

• T = 1 ÷ f
• ω = 2πf
• T = 2π√(m ÷ k) (spring)
• T = 2π√(L ÷ g) (pendulum)
• E = ½kA²
• v_max = Aω
• a_max = Aω²

例題

ばね定数 200 N/m のばねに質量 0.50 kg をつけ、振幅 0.10 m で振動させる。ω = √(k ÷ m) = √400 = 20 rad/s なので T = 2π ÷ 20 = 0.31 s、f = 3.2 Hz。最大の速さは Aω = 0.10 × 20 = 2.0 m/s。エネルギーは ½kA² = ½ × 200 × 0.010 = 1.0 J で、中心での ½mv² = ½ × 0.50 × 4.0 = 1.0 J に等しい。

よくある間違い

• 振幅が大きいほど周期が長いと考えること。理想的な振動子では周期は振幅によらない。
• おもりが重い振り子ほどゆっくり振れると考えること。周期は長さと g で決まり、質量には依存しない。
• ヘルツで表す振動数 f と、ラジアン毎秒で表す角振動数 ω を混同すること。

練習

このトピックの練習問題で力試しをしましょう:振動