الاحتمالات والتوزيعات: دليل دراسة

الأفكار الأساسية

يعطي الاحتمال أعداداً بين 0 و1 للأحداث غير المؤكدة. تغطي بضع قواعد، لدمج الأحداث وعدّ الترتيبات وتوحيد قيمة طبيعية، معظم المسائل.

• احتمال A أو B هو P(A) + P(B) − P(A و B). وللأحداث المستقلة P(A و B) = P(A) × P(B).
• الاحتمال الشرطي هو P(A | B) = P(A و B) ÷ P(B).
• عدّ الاختيارات المرتبة بالتباديل nPr وغير المرتبة بالتوافيق nCr. الاحتمال ذو الحدين لـ k نجاحاً في n محاولة هو C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
• تدل الدرجة المعيارية z = (x − μ) ÷ σ على عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة عن المتوسط. القيمة المتوقعة هي Σ x·P(x).

المعادلات الأساسية

• z = (x − μ) ÷ σ
• P(k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
• nPr = n! ÷ (n − r)!, nCr = n! ÷ (r!(n − r)!)

مثال محلول

معامل ذكاء 115 بمتوسط 100 وانحراف معياري 15 له z = (115 − 100) ÷ 15 = 1. واحتمال ظهور الصورة مرتين بالضبط في 5 رميات عادلة C(5, 2) × 0.5⁵ = 10 ÷ 32 = 0.3125. واختيار 3 من 8 عدّائين للمنصة مع ترتيبهم يعطي 8P3 = 336، واختيار فريق من 3 أشخاص يعطي 8C3 = 56.

أخطاء شائعة

• جمع P(A) وP(B) دون طرح التقاطع فيخرج احتمال أكبر من 1.
• استعمال التوافيق حين يهم الترتيب أو التباديل حين لا يهم.
• معاملة الأحداث المعتمدة كأنها مستقلة وضربها.

تدرّب

اختبر نفسك بأسئلة تدريبية في هذا الموضوع: الاحتمالات والتوزيعات