Réseaux cristallins en 3D
Équations de cette simulation
| N_corner | atomes aux sommets de la maille | chacun est partagé par les 8 mailles qui s’y rejoignent | |
|---|---|---|---|
| N_edge, N_face | atomes sur les arêtes et les faces | une arête est partagée par 4 mailles, une face par 2 | |
| Z | atomes par maille | 1 pour le cubique simple, 2 pour le cubique centré, 4 pour le cubique à faces centrées ; pour un sel, unités formulaires par maille |
Avec les valeurs actuelles :
| M | masse molaire d’une unité formulaire | pour NaCl, 22,99 + 35,45 = 58,44 g/mol | |
|---|---|---|---|
| N_A | constante d’Avogadro | 6,022 × 10²³ par mole | |
| V | volume de la maille | a³ pour une maille cubique ; (√3 ÷ 2) a² c pour la maille hexagonale | |
| ρ | masse volumique du cristal | les mesures de a aux rayons X, avec la masse volumique, ont donné l’une des meilleures valeurs anciennes de N_A |
Avec les valeurs actuelles :
| r | rayon de chaque atome ou ion | rayons métalliques pour les métaux, rayons ioniques pour NaCl et CsCl, rayons covalents pour la blende et le diamant | |
|---|---|---|---|
| compacité | part de la maille remplie par les sphères | 52 % pour le cubique simple, 68 % pour le cubique centré, 74 % pour le cubique à faces centrées et l’hexagonal compact, le maximum qu’un empilement de sphères égales puisse atteindre |
Avec les valeurs actuelles :
| h, k, l | indices de Miller | les plans coupent les arêtes de la maille en a ÷ h, a ÷ k et a ÷ l ; un 0 signifie que les plans sont parallèles à cette arête | |
|---|---|---|---|
| d | distance entre les plans | la distance entre plans voisins de la famille dessinée en jaune |
Avec les valeurs actuelles :
| λ | Longueur d’onde des rayons X λ | elle doit être plus courte que 2d, sinon les plans ne peuvent la réfléchir sous aucun angle | |
|---|---|---|---|
| θ | angle de Bragg | l’angle entre le faisceau et les plans ; le détecteur se trouve à 2θ du faisceau | |
| n | ordre de la réflexion | la réflexion (2 2 2) est le second ordre de (1 1 1) : ses plans sont deux fois plus rapprochés |
Avec les valeurs actuelles :
| x_j, y_j, z_j | position of atom j as fractions of the cell edges | les atomes situés entre les plans diffusent en décalage de phase avec ceux qui sont sur les plans | |
|---|---|---|---|
| f_j | facteur de diffusion de l’atome j | environ le nombre d’électrons Z aux petits angles, plus faible aux grands angles ; ici f = Z e^(−2s²) ÷ (1 + 3s²), s = sin θ ÷ λ en Å⁻¹ | |
| F | facteur de structure | quand F = 0 la réflexion est éteinte : le fer cubique centré n’a pas de pic (1 0 0), car l’atome du centre annule ceux des sommets |
Avec les valeurs actuelles :
Comment utiliser les réseaux cristallins en 3D
- Choisissez une structure. La maille est dessinée avec les atomes de l’exemple réel, à son paramètre de maille mesuré, et les résultats comptent les atomes par maille (un sommet est partagé par 8 mailles, une arête par 4, une face par 2) et donnent la coordinence, la distance entre plus proches voisins, la compacité et la masse volumique, à côté de la valeur mesurée. Passez aux sphères pleines pour voir les atomes à leur taille réelle, ou coupez-les aux faces de la maille pour voir quelle part de chaque atome du sommet lui appartient.
- Réglez les indices de Miller h, k et l. Les plans de cette famille sont dessinés en jaune, les atomes qui s’y trouvent s’allument et les résultats donnent la distance d et l’angle 2θ sous lequel les plans réfléchissent les rayons X selon la loi de Bragg. Certains choix sont éteints, comme (1 0 0) dans le fer cubique centré, car les atomes situés entre les plans diffusent exactement en opposition de phase ; pour les petites distances, la longueur d’onde est trop grande pour être réfléchie.
- Regardez le détecteur balayer de 0 à 150° : le faisceau rouge arrive, le jaune repart sous le même angle par rapport aux plans et s’intensifie quand la différence de marche vaut un nombre entier de longueurs d’onde. Le graphique en dessous montre tout le diagramme de poudre. Faites glisser le paramètre de maille pour voir la masse volumique et les pics se déplacer, et passez au rayonnement du molybdène pour voir plus de pics. Le Calcul de masse molaire donne la masse qui entre dans la masse volumique.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une maille ?
La plus petite boîte d’atomes qui construit tout le cristal quand on la répète dans toutes les directions, comme un carreau. Une maille cubique est décrite par une longueur, le paramètre de maille a ; la maille hexagonale du magnésium en demande deux, a et c. Le nombre d’atomes par maille, Z, compte chaque atome d’un sommet pour un huitième, chaque atome d’une arête pour un quart et chaque atome d’une face pour une moitié, car les mailles voisines les partagent.
Comment calculer la masse volumique d’un cristal ?
Divisez la masse des atomes d’une maille par son volume : ρ = Z M ÷ (N_A a³). Pour le cuivre, 4 × 63,55 g/mol ÷ (6,022 × 10²³ × (361,5 pm)³) = 8,94 g/cm³, contre 8,96 mesurés. Utilisée à l’envers, la même équation a donné l’une des valeurs anciennes les plus précises de la constante d’Avogadro.
Que sont les indices de Miller ?
Trois nombres entiers (h k l) qui désignent une famille de plans parallèles : les plans coupent les arêtes de la maille en a ÷ h, a ÷ k et a ÷ l, et un 0 signifie qu’ils sont parallèles à cette arête. Dans un cristal cubique, la distance vaut d = a ÷ √(h² + k² + l²). Pour les cristaux hexagonaux, on utilise souvent quatre indices (h k i l), avec i = −(h + k).
Pourquoi certaines réflexions de rayons X manquent-elles ?
La loi de Bragg dit quand les ondes d’une famille de plans sont en phase, mais les atomes situés entre ces plans diffusent aussi. Dans le fer cubique centré, l’atome au centre de la maille se trouve à mi-chemin entre les plans (1 0 0) et les annule exactement : le facteur de structure F est nul et il n’y a pas de pic. Les pics manquants permettent à la diffraction des rayons X de distinguer les types de réseaux.
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