Redes cristalinas en 3D
Ecuaciones de esta simulación
| N_corner | átomos en los vértices de la celda | cada uno lo comparten las 8 celdas que se juntan allí | |
|---|---|---|---|
| N_edge, N_face | átomos en las aristas y las caras | una arista la comparten 4 celdas, una cara 2 | |
| Z | átomos por celda unidad | 1 en la cúbica simple, 2 en la centrada en el cuerpo, 4 en la centrada en las caras; en una sal, unidades fórmula por celda |
Con los valores actuales:
| M | masa molar de una unidad fórmula | para el NaCl, 22,99 + 35,45 = 58,44 g/mol | |
|---|---|---|---|
| N_A | constante de Avogadro | 6,022 × 10²³ por mol | |
| V | volumen de la celda | a³ en una celda cúbica; (√3 ÷ 2) a² c en la hexagonal | |
| ρ | densidad del cristal | las medidas de a con rayos X junto con la densidad dieron uno de los mejores valores tempranos de N_A |
Con los valores actuales:
| r | radio de cada átomo o ion | radios metálicos para los metales, radios iónicos para el NaCl y el CsCl, radios covalentes para la blenda de zinc y el diamante | |
|---|---|---|---|
| empaquetamiento | fracción de la celda ocupada por las esferas | 52 % la cúbica simple, 68 % la centrada en el cuerpo, 74 % la centrada en las caras y la hexagonal compacta, lo máximo que puede alcanzar cualquier empaquetamiento de esferas iguales |
Con los valores actuales:
| h, k, l | índices de Miller | los planos cortan las aristas de la celda en a ÷ h, a ÷ k y a ÷ l; un 0 significa que los planos son paralelos a esa arista | |
|---|---|---|---|
| d | distancia entre los planos | la distancia entre planos vecinos de la familia dibujada en amarillo |
Con los valores actuales:
| λ | Longitud de onda de rayos X λ | debe ser menor que 2d, o los planos no pueden reflejarla con ningún ángulo | |
|---|---|---|---|
| θ | ángulo de Bragg | el ángulo entre el haz y los planos; el detector está a 2θ del haz | |
| n | orden de la reflexión | la reflexión (2 2 2) es el segundo orden de (1 1 1): sus planos están a la mitad de distancia |
Con los valores actuales:
| x_j, y_j, z_j | position of atom j as fractions of the cell edges | los átomos entre los planos dispersan desfasados respecto a los que están sobre ellos | |
|---|---|---|---|
| f_j | factor de dispersión del átomo j | cerca del número de electrones Z a ángulos pequeños, y menos a ángulos mayores; aquí f = Z e^(−2s²) ÷ (1 + 3s²), s = sin θ ÷ λ en Å⁻¹ | |
| F | factor de estructura | cuando F = 0 la reflexión está ausente: el hierro centrado en el cuerpo no tiene pico (1 0 0), porque el átomo del centro anula a los de los vértices |
Con los valores actuales:
Cómo usar las redes cristalinas en 3D
- Elige una estructura. La celda unidad se dibuja con los átomos del ejemplo real, a su constante de red medida, y los resultados cuentan los átomos por celda (los vértices los comparten 8 celdas, las aristas 4, las caras 2) y dan el número de coordinación, la distancia a los vecinos más cercanos, la fracción de empaquetamiento y la densidad, junto a la densidad medida. Cambia a esferas compactas para ver los átomos a su tamaño real, o córtalos en las caras de la celda para ver qué parte de cada átomo del vértice le pertenece.
- Ajusta los índices de Miller h, k y l. Los planos de esa familia se dibujan en amarillo, los átomos que están sobre ellos se iluminan y los resultados dan la distancia d y el ángulo 2θ al que los planos reflejan los rayos X según la ley de Bragg. Algunas elecciones están ausentes, como (1 0 0) en el hierro centrado en el cuerpo, porque los átomos entre los planos dispersan justo desfasados; con distancias pequeñas la longitud de onda es demasiado larga para reflejarse.
- Mira el detector barrer de 0 a 150°: el haz rojo entra, el amarillo sale con el mismo ángulo respecto a los planos y se ilumina cuando la diferencia de camino es un número entero de longitudes de onda. El gráfico de abajo muestra el patrón de polvo completo. Arrastra la constante de red para ver cómo cambian la densidad y los picos, y cambia a la radiación de molibdeno para ver más picos. La Calculadora de masa molar da la masa que entra en la densidad.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una celda unidad?
La caja de átomos más pequeña que construye todo el cristal al repetirla en todas las direcciones, como una baldosa. Una celda cúbica se describe con una longitud, la constante de red a; la celda hexagonal del magnesio necesita dos, a y c. El número de átomos por celda, Z, cuenta cada átomo de un vértice como un octavo, cada átomo de una arista como un cuarto y cada átomo de una cara como medio, porque las celdas vecinas los comparten.
¿Cómo se calcula la densidad de un cristal?
Divide la masa de los átomos de una celda entre su volumen: ρ = Z M ÷ (N_A a³). Para el cobre, 4 × 63,55 g/mol ÷ (6,022 × 10²³ × (361,5 pm)³) = 8,94 g/cm³, frente a 8,96 medidos. Al revés, la misma ecuación dio uno de los valores tempranos más precisos de la constante de Avogadro.
¿Qué son los índices de Miller?
Tres números enteros (h k l) que nombran una familia de planos paralelos: los planos cortan las aristas de la celda en a ÷ h, a ÷ k y a ÷ l, y un 0 significa que son paralelos a esa arista. En un cristal cúbico la distancia es d = a ÷ √(h² + k² + l²). En los cristales hexagonales se suelen usar cuatro índices (h k i l), con i = −(h + k).
¿Por qué faltan algunas reflexiones de rayos X?
La ley de Bragg dice cuándo las ondas de una familia de planos están en fase, pero los átomos entre esos planos también dispersan. En el hierro centrado en el cuerpo el átomo del centro de la celda está a mitad de camino entre los planos (1 0 0) y los anula exactamente, así que el factor de estructura F es cero y no hay pico. Qué picos faltan es lo que permite a la difracción de rayos X distinguir los tipos de red.
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