回転とトルク:学習ガイド

重要なポイント

回転運動は直線運動と対応している。力にあたるのが力のモーメント、質量にあたるのが慣性モーメントで、速度と加速度に角速度と角加速度が対応する。

• 力のモーメントは τ = rF sin θ で、力と軸からの垂直距離の積である。合成の力のモーメントは角加速度を生む。τ = Iα。
• 慣性モーメントは質量の分布で決まり、軸から遠いほど I は大きい。中実円板は ½MR²、輪は MR²、中実球は ⅖MR² である。
• 外部からの力のモーメントがなければ角運動量 L = Iω は保存される。スケーターが腕を縮めると速く回るのはこのためである。
• すべらずに転がる物体では v = ωR で、運動エネルギーは ½mv² と ½Iω² の和である。

主な式

• τ = rF sin θ
• τ = Iα
• L = Iω
• KE = ½Iω²
• I = ½MR² (solid disk)
• v = ωR (rolling without slipping)

例題

質量 2.0 kg、半径 0.50 m の中実円板が 10 rad/s で回っている。I = ½MR² = 0.5 × 2.0 × 0.25 = 0.25 kg·m²。角運動量 L = Iω = 2.5 kg·m²/s。運動エネルギー = ½Iω² = 0.5 × 0.25 × 100 = 12.5 J。静止から 5.0 s で 10 rad/s にするには α = 2.0 rad/s² が必要で、τ = Iα = 0.50 N·m。

よくある間違い

• τ = rF で sin θ をかけずに距離をそのまま使い、力を腕に垂直な成分として扱っていないこと。
• 慣性モーメントの式を取り違えること。どの形状と軸の式かを確認する。
• ラジアンが必要な式に度で測った角を入れること。

練習

このトピックの練習問題で力試しをしましょう:回転とトルク