信頼区間:学習ガイド

重要なポイント

推測統計は、標本から母集団について結論を引き出す。信頼区間はもっともらしい値の範囲を与え、検定は標本の結果が主張された値から、起こりにくいと言えるほど離れているかを問う。

• 平均の信頼区間は x̄ ± z × σ ÷ √n で、95 % 信頼では z = 1.96、99 % では 2.58 である。半幅が誤差の限界である。
• 誤差の限界 E に到達するには、標本の大きさは n = (z × σ ÷ E)² で、切り上げる。
• 平均の検定統計量は z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n) である。±1.96 を超える値は 5 % 水準で有意である。
• 比率では、誤差の限界は z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n) である。標本が大きいほど区間は狭くなる。

主な式

• CI = x̄ ± z × σ ÷ √n
• n = (z × σ ÷ E)²
• z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n)
• margin for a proportion = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

例題

標本 100 の平均が 52、σ = 10 なら SE = 1 で、95 % 区間は 52 ± 1.96、すなわち 50.04〜53.96 である。σ = 10 で限界を 2 にするには n = (1.96 × 10 ÷ 2)² = 96.04 なので 97 個必要である。μ₀ = 50 に対する検定では z = (52 − 50) ÷ 1 = 2.0 で、1.96 を超えるので有意である。p̂ = 0.4、n = 400 の限界は 1.96 × √(0.24 ÷ 400) = 0.048 である。

よくある間違い

• 95 % 区間を、データの 95 % がその中にあるという意味に解釈すること。平均のもっともらしい値についての区間である。
• 標本の大きさを切り下げること。次の整数へ切り上げる。
• 区間に標準誤差 σ ÷ √n ではなく標準偏差を使うこと。

練習

このトピックの練習問題で力試しをしましょう:信頼区間