فترات الثقة: دليل دراسة

الأفكار الأساسية

يستخلص الاستدلال الإحصائي استنتاجات عن مجتمع من عينة. يعطي مجال الثقة مدى من القيم المعقولة، ويسأل الاختبار هل نتيجة العينة بعيدة بما يكفي عن قيمة مدّعاة لنعدّها غير محتملة.

• مجال الثقة للمتوسط هو x̄ ± z × σ ÷ √n حيث z = 1.96 لثقة 95 % و2.58 لـ 99 %. نصف العرض هو هامش الخطأ.
• لبلوغ هامش خطأ E يجب أن يكون حجم العينة n = (z × σ ÷ E)² مقرَّباً إلى أعلى.
• إحصاءة الاختبار للمتوسط هي z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n). القيمة التي تتجاوز ±1.96 دالة عند مستوى 5 %.
• للنسبة يكون الهامش z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n). العينات الأكبر تعطي مجالات أضيق.

المعادلات الأساسية

• CI = x̄ ± z × σ ÷ √n
• n = (z × σ ÷ E)²
• z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n)
• margin for a proportion = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

مثال محلول

عينة من 100 متوسطها 52 وσ = 10، فيكون SE = 1 ومجال الثقة 95 % هو 52 ± 1.96 أي من 50.04 إلى 53.96. ولخفض الهامش إلى 2 مع σ = 10 يكون n = (1.96 × 10 ÷ 2)² = 96.04 فيلزم 97. والاختبار مقابل μ₀ = 50 يعطي z = (52 − 50) ÷ 1 = 2.0 وهو يتجاوز 1.96 فالنتيجة دالة. ولـ p̂ = 0.4 مع n = 400 يكون الهامش 1.96 × √(0.24 ÷ 400) = 0.048.

أخطاء شائعة

• تفسير مجال ثقة 95 % بأن 95 % من البيانات داخله. هو يخص القيم المعقولة للمتوسط.
• تقريب حجم العينة إلى أسفل. يجب تقريبه إلى أعلى إلى العدد الصحيح التالي.
• استعمال الانحراف المعياري بدل الخطأ المعياري σ ÷ √n في المجال.

تدرّب

اختبر نفسك بأسئلة تدريبية في هذا الموضوع: فترات الثقة