Intervalles de confiance : guide d’étude

Idées clés

L’inférence tire des conclusions sur une population à partir d’un échantillon. Un intervalle de confiance donne une plage de valeurs plausibles, et un test demande si le résultat d’un échantillon est assez éloigné d’une valeur avancée pour être jugé improbable.

• Un intervalle de confiance pour une moyenne est x̄ ± z × σ ÷ √n, avec z = 1,96 pour 95 % de confiance et 2,58 pour 99 %. La demi-largeur est la marge d’erreur.
• Pour atteindre une marge d’erreur E, la taille d’échantillon doit être n = (z × σ ÷ E)², arrondie par excès.
• La statistique de test pour une moyenne est z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n). Une valeur au-delà de ±1,96 est significative au seuil de 5 %.
• Pour une proportion, la marge est z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n). Des échantillons plus grands donnent des intervalles plus étroits.

Équations clés

• CI = x̄ ± z × σ ÷ √n
• n = (z × σ ÷ E)²
• z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n)
• margin for a proportion = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

Exemple résolu

Un échantillon de 100 a une moyenne de 52 et σ = 10, donc ES = 1 et l’intervalle à 95 % est 52 ± 1,96, soit de 50,04 à 53,96. Pour ramener la marge à 2 avec σ = 10, n = (1,96 × 10 ÷ 2)² = 96,04, donc il en faut 97. Tester contre μ₀ = 50 donne z = (52 − 50) ÷ 1 = 2,0, au-delà de 1,96, donc le résultat est significatif. Pour p̂ = 0,4 avec n = 400, la marge est 1,96 × √(0,24 ÷ 400) = 0,048.

Erreurs fréquentes

• Interpréter un intervalle à 95 % comme signifiant que 95 % des données y sont. Il porte sur les valeurs plausibles de la moyenne.
• Arrondir la taille d’échantillon par défaut. Il faut l’arrondir à l’entier supérieur.
• Utiliser l’écart type au lieu de l’erreur standard, σ ÷ √n, pour l’intervalle.

Pratique

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