Konfidenzintervalle: Lernleitfaden

Kernideen

Die Inferenzstatistik zieht aus einer Stichprobe Schlüsse über eine Grundgesamtheit. Ein Konfidenzintervall gibt einen Bereich plausibler Werte an, und ein Test fragt, ob ein Stichprobenergebnis weit genug von einem behaupteten Wert entfernt ist, um es unwahrscheinlich zu nennen.

• Ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert ist x̄ ± z × σ ÷ √n, mit z = 1,96 für 95 % Konfidenz und 2,58 für 99 %. Die halbe Breite ist die Fehlerspanne.
• Um eine Fehlerspanne E zu erreichen, muss der Stichprobenumfang n = (z × σ ÷ E)² sein, aufgerundet.
• Die Prüfgröße für einen Mittelwert ist z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n). Ein Wert jenseits von ±1,96 ist auf dem 5-%-Niveau signifikant.
• Für einen Anteil ist die Fehlerspanne z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n). Größere Stichproben ergeben schmalere Intervalle.

Wichtige Gleichungen

• CI = x̄ ± z × σ ÷ √n
• n = (z × σ ÷ E)²
• z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n)
• margin for a proportion = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

Durchgerechnetes Beispiel

Eine Stichprobe von 100 hat den Mittelwert 52 und σ = 10, also SE = 1 und das 95-%-Intervall 52 ± 1,96, also 50,04 bis 53,96. Um die Spanne bei σ = 10 auf 2 zu senken, ist n = (1,96 × 10 ÷ 2)² = 96,04, es sind also 97 nötig. Der Test gegen μ₀ = 50 ergibt z = (52 − 50) ÷ 1 = 2,0, das jenseits von 1,96 liegt, das Ergebnis ist also signifikant. Für p̂ = 0,4 bei n = 400 ist die Spanne 1,96 × √(0,24 ÷ 400) = 0,048.

Häufige Fehler

• Ein 95-%-Intervall so deuten, dass 95 % der Daten darin liegen. Es betrifft die plausiblen Werte des Mittelwerts.
• Den Stichprobenumfang abrunden. Er muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.
• Für das Intervall die Standardabweichung statt des Standardfehlers σ ÷ √n verwenden.

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