Доверительные интервалы: учебное руководство

Главные идеи

Статистический вывод делает заключения о генеральной совокупности по выборке. Доверительный интервал даёт диапазон правдоподобных значений, а критерий проверяет, достаточно ли результат выборки удалён от заявленного значения, чтобы назвать его маловероятным.

• Доверительный интервал для среднего: x̄ ± z × σ ÷ √n, где z = 1,96 для 95 % доверия и 2,58 для 99 %. Полуширина — это предельная ошибка.
• Чтобы получить предельную ошибку E, объём выборки должен быть n = (z × σ ÷ E)², округлённым вверх.
• Статистика критерия для среднего: z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n). Значение за пределами ±1,96 значимо на 5 % уровне.
• Для доли предельная ошибка равна z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n). Большие выборки дают более узкие интервалы.

Основные формулы

• CI = x̄ ± z × σ ÷ √n
• n = (z × σ ÷ E)²
• z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n)
• margin for a proportion = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

Разобранный пример

Выборка из 100 имеет среднее 52 и σ = 10, значит SE = 1, а 95 % интервал равен 52 ± 1,96, то есть от 50,04 до 53,96. Чтобы снизить ошибку до 2 при σ = 10, n = (1,96 × 10 ÷ 2)² = 96,04, нужно 97. Проверка относительно μ₀ = 50 даёт z = (52 − 50) ÷ 1 = 2,0, что больше 1,96, поэтому результат значим. Для p̂ = 0,4 при n = 400 предельная ошибка 1,96 × √(0,24 ÷ 400) = 0,048.

Частые ошибки

• Истолкование 95 % интервала как того, что в нём лежат 95 % данных. Он относится к правдоподобным значениям среднего.
• Округление объёма выборки вниз. Его нужно округлять вверх до целого.
• Использование стандартного отклонения вместо стандартной ошибки σ ÷ √n для интервала.

Практика

Проверьте себя на тренировочных вопросах по этой теме: Доверительные интервалы