Формула корней
Для ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Она работает для любого квадратного уравнения, поэтому её стоит запомнить, хотя разложение на множители, когда оно получается, быстрее.
Разобранный пример
2x² + 5x − 3 = 0, то есть a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0,5 и x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
Проверим один: 2(0,25) + 2,5 − 3 = 0. ✓
Дискриминант говорит, чего ждать
b² − 4ac называется дискриминантом.
- Положительный: два разных действительных корня, парабола пересекает ось x дважды.
- Нулевой: один двукратный корень в x = −b/2a, где парабола касается оси.
- Отрицательный: действительных корней нет. Два решения — пара комплексно-сопряжённых чисел, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.
Дискриминант, являющийся полным квадратом, означает ещё и то, что уравнение раскладывается на множители с целыми числами, — это полезно знать до попытки.
Разложение на множители, когда оно работает
Для x² + 7x + 12 найдите два числа, произведение которых 12, а сумма 7: 3 и 4. Значит, (x + 3)(x + 4) = 0 и x = −3 или −4. При старшем коэффициенте поиск длиннее, а если дискриминант не полный квадрат, искать нечего. Попробуйте разложить несколько секунд, затем используйте формулу.
Выделение полного квадрата
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, то есть −1 или −5. Для решения это медленнее формулы, но именно так формула выводится, и это сразу даёт вершину: (x + 3)² − 4 означает, что минимум в точке (−3, −4).
Вершина, сумма и произведение
- Вершина в x = −b/2a, посередине между корнями.
- Сумма корней равна −b/a, произведение — c/a (теорема Виета), что быстро проверяет любой ответ.
Для примера выше: сумма = −5/2 = −2,5, и 0,5 + (−3) = −2,5. ✓
Инструменты
Решение квадратных уравнений даёт оба корня, действительные или комплексные, вместе с дискриминантом и вершиной.